12-Defina o que é teste estatístico e o que é regra de decisão.
Passo 1
O que o enunciado pede: definir duas coisas claramente:
- o que é um teste estatístico;
- o que é uma regra de decisão.
Não há dados numéricos no enunciado; pede-se apenas definições e explicações.
Passo 2
Intuição e cenário básico (passo a passo):
- Em estatística, muitas vezes queremos decidir entre duas hipóteses sobre um parâmetro com base em dados amostrais. Essas hipóteses são chamadas de hipótese nula e hipótese alternativa, escritas normalmente como
e . - Recebe-se uma amostra, por exemplo
. A ideia é transformar essa amostra numa quantidade simples (um número) que resuma a evidência contra ; essa quantidade chama-se estatística de teste. - Depois comparamos essa estatística com um critério (regra) que diz quando rejeitar
. Esse conjunto de passos — pegar dados, calcular estatística, comparar com critério e decidir — é o que chamamos de teste estatístico na prática.
Passo 3
Definição formal e componentes de um teste estatístico:
- Uma estatística de teste é uma função da amostra, por exemplo
, cujo valor será usado para decidir entre e . Aqui representa a amostra inteira e é um número (ou vetor) calculado a partir dela. - Um teste estatístico é o procedimento completo que usa
e uma regra para tomar a decisão. Formalmente, pode ser visto como uma função de decisão
onde
significa “rejeitar
” e
significa “não rejeitar
”. Assim, o teste é a combinação
ou, equivalentemente, o par “estatística + regra de rejeição”.
Passo 4
O que é a regra de decisão (definição e formas equivalentes):
- A regra de decisão especifica, para cada possível resultado da amostra, qual ação tomar. Em termos simples: é a receita “se isto acontecer, rejeito
; caso contrário, não rejeito”. - Duas formas comuns de expressar a regra de decisão:
- Região crítica (ou região de rejeição)
no espaço amostral: rejeitar se . - Função de decisão
como acima: para e para .
- Região crítica (ou região de rejeição)
- Em palavras: a regra de decisão é o “critério objetivo” que transforma o resultado observado em uma escolha (rejeitar / não rejeitar).
Passo 5
Por que a regra de decisão precisa ser especificada com cuidado (erros e nível):
- Há dois tipos de erro importantes:
- Erro do tipo I: rejeitar
sendo verdadeira. A probabilidade desse erro é o nível de significância :
- Erro do tipo II: não rejeitar
quando é verdadeira. A probabilidade desse erro é .
- Erro do tipo I: rejeitar
- A potência do teste é
: probabilidade de rejeitar quando é verdadeira. - Ao escolher uma regra de decisão normalmente se quer controlar
(por exemplo ) e, entre as regras que respeitam esse , escolher a que tem maior potência.
Passo 6
Exemplo concreto (passo a passo) — moeda tendenciosa:
- Suponha
é o número de caras em lançamentos independentes de uma moeda, então . - Teste:
contra . Uma estatística natural é (nº de caras). - Uma possível regra de decisão: rejeitar
se . Aqui a região de rejeição é . - Calcular o nível (erro tipo I) dessa regra:
Os coeficientes binomiais são
,
,
, logo
- Potência para um valor alternativo, por exemplo
:
Esse exemplo mostra como uma regra de decisão dá uma \emph{probabilidade} de erro tipo I e uma potência, o que permite avaliar se a regra é aceitável.
Passo 7
Como agir numa prova (passos práticos para construir a regra de decisão)
- Identifique
e claramente. - Escolha uma estatística de teste
que capture a diferença entre e (ex.: média, soma, proporção, diferença). - Determine a distribuição de
sob (ex.: binomial, normal, , qui-quadrado). - Defina o nível
que aceita (se não der, use como padrão). - Encontre o(s) valor(es) crítico(s) para
que garantam (essas são os limites da região crítica). - Escreva a regra de decisão explicitamente (ex.: “rejeitar
se ”). - Se pedir, calcule o p‑valor: p‑valor é a probabilidade, assumindo
verdadeira, de observar um valor de ao menos tão extremo quanto o observado; rejeita‑se se p‑valor .
Passo 8
Resumo didático (recapitulando em linguagem direta e amigável)
- Pense no teste estatístico como o procedimento inteiro: pega os dados, calcula algo (a estatística) e toma uma decisão.
- Pense na regra de decisão como a “receita” que diz exatamente quando rejeitar
. Sem essa receita não há teste. - Controle
(erro tipo I) quando montar a regra e verifique a potência para valores relevantes de . Isso é o que te salva em provas e em aplicação prática.
Resposta
Teste estatístico: procedimento que, a partir de uma amostra
e de uma estatística de teste
, decide entre a hipótese nula
e a hipótese alternativa
; formalmente pode ser representado por uma função de decisão
que indica “rejeitar
” ou “não rejeitar
”.
Regra de decisão: a descrição explícita (por exemplo uma região crítica
ou a função
) que diz, para cada resultado possível da amostra, qual ação tomar — isto é, “rejeitar
” quando
e “não rejeitar
” quando
.