[15 pontos] Uma placa de magnésio em estado plano de tensão está sujeita às tensões normais de tração
e
. As correspondentes deformações normais na placa são
e
. Determine o módulo de elasticidade "
" e o coeficiente de Poisson "
" do material da placa. Mais 10 pontos para determinar coeficiente de segurança pelo critério de Treca considerando
.
Passo 1
O enunciado dá uma placa em estado plano de tensão com as seguintes informações (peguei todos esses valores do enunciado):
- Tensões normais:
e . - Deformações correspondentes:
e .
O que o problema pede:
- Determinar o módulo de elasticidade
e o coeficiente de Poisson do material. - Determinar o coeficiente de segurança pelo critério de Treca (Tresca), adotando
como limite de escoamento em tração.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula curta e prática).
Para um material linear, isotrópico, em estado de plano de tensão (ou seja, ), as leis de Hooke ligam tensões e deformações assim:
Para um material linear, isotrópico, em estado de plano de tensão (ou seja,
Explicando cada símbolo:
-
são as deformações normais (adimensionais). -
são as tensões normais em MPa. -
é o módulo de elasticidade (MPa). -
é o coeficiente de Poisson (adimensional).
Essas fórmulas vêm de escrever as fórmulas gerais de Hooke e impor. Elas são lineares e permitem resolver e a partir de dois pares .
Passo 3
Escrever as equações numéricas usando os dados:
São duas equações lineares em
e
(mas é conveniente eliminar
e resolver primeiro
).
Passo 4
Elimina
igualando as duas expressões para
:
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados e coletando termos:
Expandindo e passando termos de
para um lado:
Portanto
logo
Passo 5
Substituir os valores numéricos (tudo em unidades consistentes:
em MPa,
adimensional). Colocando os números:
Fatorando
no numerador e denominador ele cancela; calculando os produtos inteiros:
Assim
Passo 6
Agora determinamos
. Usamos uma das expressões:
Substituindo
e os valores:
Calculemos:
Passo 7
Interpretação breve e checagem de consistência:
- Obtemos
, número plausível para ligas leves (magnésio costuma ter em torno de – , então está consistente). -
, valor razoável para magnésio (ordem de grandeza correta). Tudo consistente entre si.
Passo 8
Agora o critério de Treca (Tresca) para o coeficiente de segurança — mini-aula curta:
- Tresca diz que o material entra em escoamento quando a maior diferença entre esforços principais atinge o limite de escoamento em tração
. Uma forma prática é definir o equivalente de Tresca
onde
são as tensões principais.
- Em seguida o material escoa quando
. Assim o coeficiente de segurança é
Passo 9
Determinar as tensões principais no nosso caso:
- Como não foram dadas componentes de cisalhamento, assumimos
. Então as tensões dadas já são tensões principais no plano: , , e para o estado plano de tensão .
Calculemos as diferenças:
Logo
Passo 10
Calcular o coeficiente de segurança:
Interpretação curta: com esse carregamento, segundo Tresca a peça tem fator de segurança
.
Resposta
Coeficiente de segurança (Tresca):