[15 pontos] Uma placa de magnésio em estado plano de tensão está sujeita às tensões normais de tração \sigma x=22 \mathrm{MPa} e \sigma y=11 \mathrm{MPa}. As correspondentes deformações normais na placa são \varepsilon x= 605 \times 10^{-6} e \varepsilon y=110 \times 10^{-6}. Determine o módulo de elasticidade " E " e o coeficiente de Poisson " v " do material da placa. Mais 10 pontos para determinar coeficiente de segurança pelo critério de Treca considerando \mathrm{Y}=33 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá uma placa em estado plano de tensão com as seguintes informações (peguei todos esses valores do enunciado):
  • Tensões normais: \sigma_x=22\\ \mathrm{MPa} e \sigma_y=11\\ \mathrm{MPa}.
  • Deformações correspondentes: \varepsilon_x=605\times10^{-6} e \varepsilon_y=110\times10^{-6}.
    O que o problema pede:
  1. Determinar o módulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson \nu do material.
  2. Determinar o coeficiente de segurança pelo critério de Treca (Tresca), adotando Y=33\\ \mathrm{MPa} como limite de escoamento em tração.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula curta e prática).
Para um material linear, isotrópico, em estado de plano de tensão (ou seja, \sigma_z=0), as leis de Hooke ligam tensões e deformações assim:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu\,\sigma_y\bigr), \qquad \varepsilon_y=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_y-\nu\,\sigma_x\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon_x,\varepsilon_y são as deformações normais (adimensionais).
  • \sigma_x,\sigma_y são as tensões normais em MPa.
  • E é o módulo de elasticidade (MPa).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (adimensional).
    Essas fórmulas vêm de escrever as fórmulas gerais de Hooke e impor \sigma_z=0. Elas são lineares e permitem resolver E e \nu a partir de dois pares (\sigma,\varepsilon).

Passo 3

Escrever as equações numéricas usando os dados:
\varepsilon_x=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_x-\nu\sigma_y\bigr) \quad\Rightarrow\quad E\,\varepsilon_x=\sigma_x-\nu\sigma_y,
\varepsilon_y=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_y-\nu\sigma_x\bigr) \quad\Rightarrow\quad E\,\varepsilon_y=\sigma_y-\nu\sigma_x.
São duas equações lineares em E e \nu (mas é conveniente eliminar E e resolver primeiro \nu).

Passo 4

Elimina E igualando as duas expressões para E:
\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{\varepsilon_x}=\frac{\sigma_y-\nu\sigma_x}{\varepsilon_y}.
Agora isolamos \nu. Multiplicando ambos os lados e coletando termos:
\varepsilon_y(\sigma_x-\nu\sigma_y)=\varepsilon_x(\sigma_y-\nu\sigma_x).
Expandindo e passando termos de \nu para um lado:
\varepsilon_y\sigma_x-\nu\varepsilon_y\sigma_y=\varepsilon_x\sigma_y-\nu\varepsilon_x\sigma_x.
Portanto
\nu\bigl(\varepsilon_x\sigma_x-\varepsilon_y\sigma_y\bigr)=\varepsilon_x\sigma_y-\varepsilon_y\sigma_x,
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\nu=\frac{\varepsilon_x\sigma_y-\varepsilon_y\sigma_x}{\varepsilon_x\sigma_x-\varepsilon_y\sigma_y}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (tudo em unidades consistentes: \sigma em MPa, \varepsilon adimensional). Colocando os números:
\nu=\frac{(605\times10^{-6})\cdot(11)-(110\times10^{-6})\cdot(22)} {(605\times10^{-6})\cdot(22)-(110\times10^{-6})\cdot(11)}.
Fatorando 10^{-6} no numerador e denominador ele cancela; calculando os produtos inteiros:
\text{numerador}=605\cdot11-110\cdot22=6655-2420=4235,
\text{denominador}=605\cdot22-110\cdot11=13310-1210=12100.
Assim
\nu=\frac{4235}{12100}=\frac{35}{100}=0{,}35.

Passo 6

Agora determinamos E. Usamos uma das expressões:
E=\frac{\sigma_x-\nu\sigma_y}{\varepsilon_x}.
Substituindo \nu=0{,}35 e os valores:
E=\frac{22-(0{,}35)\cdot11}{605\times10^{-6}} =\frac{22-3{,}85}{605\times10^{-6}} =\frac{18{,}15}{605\times10^{-6}}.
Calculemos:
E=\frac{18{,}15}{0{,}000605}=30000\\ \mathrm{MPa}=30\\ \mathrm{GPa}.

Passo 7

Interpretação breve e checagem de consistência:
  • Obtemos \nu=0{,}35, número plausível para ligas leves (magnésio costuma ter \nu em torno de 0{,}27 0{,}36, então está consistente).
  • E=30{,}000\\ \mathrm{MPa}=30\\ \mathrm{GPa}, valor razoável para magnésio (ordem de grandeza correta). Tudo consistente entre si.

Passo 8

Agora o critério de Treca (Tresca) para o coeficiente de segurança — mini-aula curta:
  • Tresca diz que o material entra em escoamento quando a maior diferença entre esforços principais atinge o limite de escoamento em tração Y. Uma forma prática é definir o equivalente de Tresca
\sigma_\text{Tresca}=\max\bigl(|\sigma_1-\sigma_2|,\,|\sigma_2-\sigma_3|,\,|\sigma_3-\sigma_1|\bigr),
onde \sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 são as tensões principais.
  • Em seguida o material escoa quando \sigma_\text{Tresca}=Y. Assim o coeficiente de segurança é
\text{segurança } n=\frac{Y}{\sigma_\text{Tresca}}.ç

Passo 9

Determinar as tensões principais no nosso caso:
  • Como não foram dadas componentes de cisalhamento, assumimos \tau_{xy}=0. Então as tensões dadas já são tensões principais no plano: \sigma_1=22\\ \mathrm{MPa}, \sigma_2=11\\ \mathrm{MPa}, e para o estado plano de tensão \sigma_3=0\\ \mathrm{MPa}.
    Calculemos as diferenças:
|\sigma_1-\sigma_2|=|22-11|=11\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_2-\sigma_3|=|11-0|=11\\ \mathrm{MPa},
|\sigma_3-\sigma_1|=|0-22|=22\\ \mathrm{MPa}.
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\sigma_\text{Tresca}=\max(11,11,22)=22\\ \mathrm{MPa}.

Passo 10

Calcular o coeficiente de segurança:
n=\frac{Y}{\sigma_\text{Tresca}}=\frac{33\\ \mathrm{MPa}}{22\\ \mathrm{MPa}}=1{,}5.
Interpretação curta: com esse carregamento, segundo Tresca a peça tem fator de segurança 1{,}5.

Resposta

E=30{,}000\\ \mathrm{MPa}=30\\ \mathrm{GPa}
\nu=0{,}35
Coeficiente de segurança (Tresca): n=1{,}5

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