[2 pt] Calcule as integrais duplas:
(1,0)
\int_{1}^{2} \int_{0}^{\frac{1}{x}} x+1 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada cuja expressão e limites são (copiei os dados do enunciado):
\int_{1}^{2}\int_{0}^{\frac{1}{x}} (x+1)\,dy\,dx.
Informações relevantes:
  • A função integranda é (x+1).
  • A integração interna é em y com limites y=0 até y=\dfrac{1}{x}.
  • A integração externa é em x com limites x=1 até x=2.
    A tarefa é avaliar esse integral duplo e obter um número (valor).

Passo 2

Conceito necessário (explicado de forma prática): uma integral dupla iterada \displaystyle \int_{a}^{b}\left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\right)dx calcula primeiro a integral interna em y para cada x fixo, obtendo uma função de x, e depois integra essa função em x no segundo passo. Se a integranda não depende de y (ou depende de forma simples), dá para simplificar a integral interna facilmente.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Para x fixo a integranda (x+1) é constante em y, então:
\int_{0}^{\frac{1}{x}} (x+1)\,dy = (x+1)\int_{0}^{\frac{1}{x}} 1\,dy = (x+1)\left[y\right]_{0}^{\frac{1}{x}}
= (x+1)\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

Simplificar o resultado da integral interna algebricamente:
(x+1)\cdot\frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x}.
Portanto a integral dupla fica reduzida à integral simples em x:
\int_{1}^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx.

Passo 5

Separar em duas integrais mais simples e explicar as primitivas:
\int_{1}^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx = \int_{1}^{2}1\,dx + \int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.
As primitivas são:
  • Para 1, a primitiva é x, porque \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Para \dfrac{1}{x}, a primitiva é \ln|x|, porque \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}. Como x varia entre 1 e 2 (positivos), podemos usar \ln x.

Passo 6

Avaliar as integrais definidas usando as primitivas:
\int_{1}^{2}1\,dx = \big[x\big]_{1}^{2} = 2-1 = 1,
\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx = \big[\ln x\big]_{1}^{2} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2.
Somando:
1 + \ln 2.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem: o resultado é um número finito e positivo, faz sentido porque a região de integração é limitada e a integranda é positiva em toda a região. Bom trabalho — já era!

Resposta

\,1+\ln 2