[2 pt] Calcule as integrais duplas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada cuja expressão e limites são (copiei os dados do enunciado):
Informações relevantes:
- A função integranda é
. - A integração interna é em
com limites até . - A integração externa é em
com limites até .
A tarefa é avaliar esse integral duplo e obter um número (valor).
Passo 2
Conceito necessário (explicado de forma prática): uma integral dupla iterada
calcula primeiro a integral interna em
para cada
fixo, obtendo uma função de
, e depois integra essa função em
no segundo passo. Se a integranda não depende de
(ou depende de forma simples), dá para simplificar a integral interna facilmente.
Passo 3
Calcular a integral interna em
. Para
fixo a integranda
é constante em
, então:
Passo 4
Simplificar o resultado da integral interna algebricamente:
Portanto a integral dupla fica reduzida à integral simples em
:
Passo 5
Separar em duas integrais mais simples e explicar as primitivas:
As primitivas são:
- Para
, a primitiva é , porque . - Para
, a primitiva é , porque . Como varia entre e (positivos), podemos usar .
Passo 6
Avaliar as integrais definidas usando as primitivas:
Somando:
Passo 7
Interpretação rápida e checagem: o resultado é um número finito e positivo, faz sentido porque a região de integração é limitada e a integranda é positiva em toda a região. Bom trabalho — já era!