O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm . Determine a área do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede o que segue:
- Informação dada:
- O apótema do quadrado inscrito numa circunferência vale
. (Apótema = distância do centro do polígono até um lado.)
- O apótema do quadrado inscrito numa circunferência vale
- Pergunta:
- Determinar a área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência.
Passo 2
Entender o que é apótema e como relacioná-lo ao raio da circunferência.
Considere um polígono regular inscrito numa circunferência de raio . Se o polígono tem
lados, ao traçar do centro uma perpendicular até um lado obtemos um triângulo retângulo em que:
Considere um polígono regular inscrito numa circunferência de raio
- a hipotenusa é
, - o ângulo no centro, dividido ao meio, vale
, - o cateto adjacente a esse ângulo é exatamente o apótema
.
Da trigonometria básica (definição de cosseno num triângulo retângulo):
Portanto a relação fundamental é
Vou usar essa fórmula para o quadrado (para obter
) e depois para o hexágono (para achar sua área).
Passo 3
Aplicar a fórmula ao quadrado (
). Para o quadrado vale:
Sabendo que
e que
, temos
Isolando
:
Racionalizando ou simplificando:
Passo 4
Relacionar o lado do hexágono regular com o raio
.
No hexágono regular ( ) cada triângulo formado pelos dois raios e um lado é um triângulo equilátero (ângulo central
). Assim o lado
do hexágono coincide com o raio:
No hexágono regular (
(Alternativamente, pela fórmula do comprimento de corda
.)
Logo, para o nosso caso:
Passo 5
Calcular a área do hexágono regular. Existem várias fórmulas; uma direta é decompor o hexágono em 6 triângulos equiláteros de lado
. A área de um triângulo equilátero de lado
é
. Então a área do hexágono é
Substituindo
:
Portanto
Passo 6
Interpretando o resultado e arredondamento (se quiser verificar numericamente):
. Mas a forma exata é mais elegante e geralmente exigida.