O apótema do quadrado inscrito numa circunferência é igual a 2 cm . Determine a área do hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede o que segue:
  • Informação dada:
    • O apótema do quadrado inscrito numa circunferência vale 2\\ \text{cm}. (Apótema = distância do centro do polígono até um lado.)
  • Pergunta:
    • Determinar a área do hexágono regular inscrito na mesma circunferência.

Passo 2

Entender o que é apótema e como relacioná-lo ao raio da circunferência.
Considere um polígono regular inscrito numa circunferência de raio R. Se o polígono tem n lados, ao traçar do centro uma perpendicular até um lado obtemos um triângulo retângulo em que:
  • a hipotenusa é R,
  • o ângulo no centro, dividido ao meio, vale \dfrac{\pi}{n},
  • o cateto adjacente a esse ângulo é exatamente o apótema a.
Da trigonometria básica (definição de cosseno num triângulo retângulo):
\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right)=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{a}{R}.
Portanto a relação fundamental é
a=R\cos\!\left(\frac{\pi}{n}\right).
Vou usar essa fórmula para o quadrado (para obter R) e depois para o hexágono (para achar sua área).

Passo 3

Aplicar a fórmula ao quadrado ( n=4). Para o quadrado vale:
a_{\text{quadrado}}=R\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} e que a_{\text{quadrado}}=2\\ \text{cm}, temos
2=R\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.
Isolando R:
R=\frac{2}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=2\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}.
Racionalizando ou simplificando:
R=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Relacionar o lado do hexágono regular com o raio R.
No hexágono regular ( n=6) cada triângulo formado pelos dois raios e um lado é um triângulo equilátero (ângulo central 2\pi/6=\pi/3). Assim o lado s do hexágono coincide com o raio:
s=R.
(Alternativamente, pela fórmula do comprimento de corda s=2R\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=2R\cdot\frac{1}{2}=R.)
Logo, para o nosso caso:
s=R=2\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular a área do hexágono regular. Existem várias fórmulas; uma direta é decompor o hexágono em 6 triângulos equiláteros de lado s. A área de um triângulo equilátero de lado s é \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^{2}. Então a área do hexágono é
\text{Área} = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}=\frac{6\sqrt{3}}{4}s^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}s^{2}.Á
Substituindo s=2\sqrt{2}:
s^{2}=(2\sqrt{2})^{2}=4\cdot 2=8.
Portanto
\text{Área}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 8 = 3\sqrt{3}\cdot 4 = 12\sqrt{3}.Á

Passo 6

Interpretando o resultado e arredondamento (se quiser verificar numericamente): 12\sqrt{3}\approx 12\cdot1{,}732\approx 20{,}784\\ \text{cm}^{2}. Mas a forma exata é mais elegante e geralmente exigida.

Resposta

12\sqrt{3}\\ \text{cm}^2