Considerando os conjuntos
V=\{d\} \times\{c\}, \quad W=\{c, d\} \times\{a, c\}, \quad X=\{a, b, c\} \times\{d\}, \quad Y=\{a, b\} \times\{d\} \quad \text { e } \quad Z=\{a, b, d\} \times\{d\}
  1. Apresente a definição por lista dos seguintes conjuntos das partes:
\mathscr{P}(V), \quad \mathscr{P}(Y), \quad \mathscr{P}(Z), \quad \mathscr{P}(X-Y) \quad \text { e } \quad \mathscr{P}(W-V)
  1. Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F):
  • \mathscr{P}(V) \cup \mathscr{P}(Y)=\mathscr{P}(Z)
  • \mathscr{P}(X-Y) \neq \mathscr{P}(W-V)

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos (vou copiar exatamente os dados fornecidos):
V=\{d\}\times\{c\},\quad W=\{c,d\}\times\{a,c\},\quad X=\{a,b,c\}\times\{d\},
Y=\{a,b\}\times\{d\},\quad Z=\{a,b,d\}\times\{d\}.
O que é pedido:
  1. Apresentar por lista as potências (conjuntos das partes)
\mathscr{P}(V),\quad \mathscr{P}(Y),\quad \mathscr{P}(Z),\quad \mathscr{P}(X-Y),\quad \mathscr{P}(W-V).
  1. Dizer se as afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F):
  • \mathscr{P}(V)\cup\mathscr{P}(Y)=\mathscr{P}(Z)
  • \mathscr{P}(X-Y)\neq\mathscr{P}(W-V)

Passo 2

Primeiro vamos transformar cada produto cartesiano em lista de pares ordenados (isso é só identificar os elementos concretos de cada conjunto).
  • \;V=\{d\}\times\{c\}=\{\,(d,c)\,\}. É um conjunto com UM elemento: o par (d,c).
  • \;W=\{c,d\}\times\{a,c\}=\{\,(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\,\}. Quatro elementos.
  • \;X=\{a,b,c\}\times\{d\}=\{\,(a,d),(b,d),(c,d)\,\}.
  • \;Y=\{a,b\}\times\{d\}=\{\,(a,d),(b,d)\,\}.
  • \;Z=\{a,b,d\}\times\{d\}=\{\,(a,d),(b,d),(d,d)\,\}.
Comentário rápido: escrevemos os pares como (x,y) e cada conjunto acima é simplesmente a lista desses pares.

Passo 3

Lembrando definições importantes (rapidinho e direto):
  • A diferença de conjuntos A-B é o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
  • A potência \mathscr{P}(S) é o conjunto de todos os subconjuntos de S. Se S tem n elementos, então |\mathscr{P}(S)|=2^{n}.
    Vou usar isso para calcular X-Y e W-V antes de listar as potências.

Passo 4

Calcular as diferenças:
  • \;X-Y=\{\,(a,d),(b,d),(c,d)\,\}\setminus\{\,(a,d),(b,d)\,\}=\{\,(c,d)\,\}. Ou seja, X-Y é o conjunto singleton \{\,(c,d)\,\}.
  • \;W-V=\{\,(c,a),(c,c),(d,a),(d,c)\,\}\setminus\{\,(d,c)\,\}=\{\,(c,a),(c,c),(d,a)\,\}. Portanto W-V tem 3 elementos: (c,a),(c,c),(d,a).

Passo 5

Agora construímos as potências exigidas. Vou explicar como listar: para um conjunto com n elementos, listar todos os subconjuntos vai de \varnothing às combinações de 1 elemento, 2 elementos, …, até o próprio conjunto.
  1. \mathscr{P}(V). Como V=\{\,(d,c)\,\} tem 1 elemento, os subconjuntos são \varnothing e o próprio conjunto:
\mathscr{P}(V)=\{\;\varnothing,\;\{\,(d,c)\,\}\;\}.

Passo 6

  1. \mathscr{P}(Y). Aqui Y=\{\,(a,d),(b,d)\,\} tem 2 elementos; a potência tem 2^{2}=4 subconjuntos. Listando:
\mathscr{P}(Y)=\{\;\varnothing,\;\{\,(a,d)\,\},\;\{\,(b,d)\,\},\;\{\,(a,d),(b,d)\,\}\;\}.

Passo 7

  1. \mathscr{P}(Z). Aqui Z=\{\,(a,d),(b,d),(d,d)\,\} tem 3 elementos; a potência tem 2^{3}=8 subconjuntos. Listando todas:
\mathscr{P}(Z)=\{ \varnothing, \{\,(a,d)\,\}, \{\,(b,d)\,\}, \{\,(d,d)\,\}, \{\,(a,d),(b,d)\,\}, \{\,(a,d),(d,d)\,\}, \{\,(b,d),(d,d)\,\}, \{\,(a,d),(b,d),(d,d)\,\} \}.

Passo 8

  1. \mathscr{P}(X-Y). Como vimos X-Y=\{\,(c,d)\,\} (um singleton), seu conjunto das partes tem 2 elementos:
\mathscr{P}(X-Y)=\{\;\varnothing,\;\{\,(c,d)\,\}\;\}.

Passo 9

  1. \mathscr{P}(W-V). Como W-V=\{\,(c,a),(c,c),(d,a)\,\} tem 3 elementos, a potência terá 2^{3}=8 subconjuntos. Listando todos:
\mathscr{P}(W-V)=\{ \varnothing, \{\,(c,a)\,\}, \{\,(c,c)\,\}, \{\,(d,a)\,\}, \{\,(c,a),(c,c)\,\}, \{\,(c,a),(d,a)\,\}, \{\,(c,c),(d,a)\,\}, \{\,(c,a),(c,c),(d,a)\,\} \}.

Passo 10

Agora respondemos as afirmações do item 2, comparando os conjuntos explicitamente:
  • Afirmação 1: \mathscr{P}(V)\cup\mathscr{P}(Y)=\mathscr{P}(Z).
    • \mathscr{P}(V)\cup\mathscr{P}(Y) contém por exemplo o subconjunto \{\,(d,c)\,\} (porque \{\,(d,c)\,\}\in\mathscr{P}(V)). Mas \{\,(d,c)\,\} não pode pertencer a \mathscr{P}(Z) porque (d,c)\notin Z (os elementos de Z são (a,d),(b,d),(d,d)). Além disso, \mathscr{P}(Z) contém subconjuntos como \{\,(d,d)\,\} que não aparecem na união anterior. Portanto os dois lados não são iguais. Conclusão: a afirmação é falsa (F).
  • Afirmação 2: \mathscr{P}(X-Y)\neq\mathscr{P}(W-V).
    • \mathscr{P}(X-Y)=\{\varnothing,\{\,(c,d)\,\}\} tem 2 elementos; \mathscr{P}(W-V) tem 8 elementos e não contém \{\,(c,d)\,\} (pois (c,d)\notin W-V). Logo os conjuntos são diferentes. Conclusão: a afirmação é verdadeira (V).

Resposta

\mathscr{P}(V)=\{\varnothing,\{\,(d,c)\,\}\}
\mathscr{P}(Y)=\{\varnothing,\{\,(a,d)\,\},\{\,(b,d)\,\},\{\,(a,d),(b,d)\,\}\}
\mathscr{P}(Z)=\{\varnothing,\{\,(a,d)\,\},\{\,(b,d)\,\},\{\,(d,d)\,\},\{\,(a,d),(b,d)\,\},\{\,(a,d),(d,d)\,\},\{\,(b,d),(d,d)\,\},\{\,(a,d),(b,d),(d,d)\,\}\}
\mathscr{P}(X-Y)=\{\varnothing,\{\,(c,d)\,\}\}
\mathscr{P}(W-V)=\{\varnothing,\{\,(c,a)\,\},\{\,(c,c)\,\},\{\,(d,a)\,\},\{\,(c,a),(c,c)\,\},\{\,(c,a),(d,a)\,\},\{\,(c,c),(d,a)\,\},\{\,(c,a),(c,c),(d,a)\,\}\}
\mathscr{P}(V)\cup\mathscr{P}(Y)=\mathscr{P}(Z): F
\mathscr{P}(X-Y)\neq\mathscr{P}(W-V): V