Considerando os conjuntos
- Apresente a definição por lista dos seguintes conjuntos das partes:
- Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F):
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Passo 1
O enunciado dá os conjuntos (vou copiar exatamente os dados fornecidos):
O que é pedido:
- Apresentar por lista as potências (conjuntos das partes)
- Dizer se as afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Passo 2
Primeiro vamos transformar cada produto cartesiano em lista de pares ordenados (isso é só identificar os elementos concretos de cada conjunto).
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. É um conjunto com UM elemento: o par . -
. Quatro elementos. -
. -
. -
.
Comentário rápido: escrevemos os pares como
e cada conjunto acima é simplesmente a lista desses pares.
Passo 3
Lembrando definições importantes (rapidinho e direto):
- A diferença de conjuntos
é o conjunto dos elementos de que não pertencem a . - A potência
é o conjunto de todos os subconjuntos de . Se tem elementos, então .
Vou usar isso para calculare antes de listar as potências.
Passo 4
Calcular as diferenças:
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. Ou seja, é o conjunto singleton . -
. Portanto tem 3 elementos: .
Passo 5
Agora construímos as potências exigidas. Vou explicar como listar: para um conjunto com
elementos, listar todos os subconjuntos vai de
às combinações de 1 elemento, 2 elementos, …, até o próprio conjunto.
-
. Como tem 1 elemento, os subconjuntos são e o próprio conjunto:
Passo 6
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. Aqui tem 2 elementos; a potência tem subconjuntos. Listando:
Passo 7
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. Aqui tem 3 elementos; a potência tem subconjuntos. Listando todas:
Passo 8
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. Como vimos (um singleton), seu conjunto das partes tem 2 elementos:
Passo 9
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. Como tem 3 elementos, a potência terá subconjuntos. Listando todos:
Passo 10
Agora respondemos as afirmações do item 2, comparando os conjuntos explicitamente:
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Afirmação 1:
. -
contém por exemplo o subconjunto (porque ). Mas não pode pertencer a porque (os elementos de são ). Além disso, contém subconjuntos como que não aparecem na união anterior. Portanto os dois lados não são iguais. Conclusão: a afirmação é falsa (F).
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Afirmação 2:
. -
tem 2 elementos; tem 8 elementos e não contém (pois ). Logo os conjuntos são diferentes. Conclusão: a afirmação é verdadeira (V).
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