Demonstre que a distância interplanar
para planos (
) em uma estrutura cúbica é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a distância entre planos, chamada de distância interplanar
, para planos identificados pelos índices
em uma estrutura cúbica é dada por
. Aqui,
é o parâmetro de rede da estrutura cúbica, e
,
,
são os índices de Miller que definem o plano. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre estruturas cristalinas, índices de Miller e como calcular a distância entre planos em uma rede cristalina.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os índices de Miller
. Eles são três números inteiros que descrevem a orientação de um plano na estrutura cristalina. Esses índices são inversos das interseções do plano com os eixos cristalográficos e simplificados para os menores inteiros possíveis.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que em uma estrutura cúbica, todos os eixos têm o mesmo comprimento
. Isso simplifica nossos cálculos porque as distâncias ao longo de cada eixo são iguais.
Passo 4
Para encontrar a distância interplanar
, precisamos usar a fórmula que relaciona os índices de Miller com o parâmetro de rede. A distância entre planos adjacentes em uma rede cúbica é dada por:
Essa fórmula nos dá a distância entre dois planos paralelos com os mesmos índices
.
Passo 5
Vamos provar essa fórmula. Imagine um plano definido por
na estrutura cúbica. A normal desse plano tem uma direção que pode ser representada pelo vetor
. A distância mais curta entre planos paralelos é a distância ao longo dessa normal.
Passo 6
A distância entre dois pontos consecutivos ao longo da normal é igual ao parâmetro de rede
dividido pelo comprimento do vetor normal
. O comprimento desse vetor é:
Portanto, a distância interplanar é:
Resposta
A distância interplanar para planos
em uma estrutura cúbica é dada por: