Demonstre que a distância interplanar dh k l para planos ( h k l ) em uma estrutura cúbica é dada por dh k l=araizh^2+k^2+l^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a distância entre planos, chamada de distância interplanar dhkl, para planos identificados pelos índices (hkl) em uma estrutura cúbica é dada por dhkl = araizh^2+k^2+l^2. Aqui, a é o parâmetro de rede da estrutura cúbica, e h, k, l são os índices de Miller que definem o plano. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre estruturas cristalinas, índices de Miller e como calcular a distância entre planos em uma rede cristalina.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os índices de Miller (hkl). Eles são três números inteiros que descrevem a orientação de um plano na estrutura cristalina. Esses índices são inversos das interseções do plano com os eixos cristalográficos e simplificados para os menores inteiros possíveis.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que em uma estrutura cúbica, todos os eixos têm o mesmo comprimento a. Isso simplifica nossos cálculos porque as distâncias ao longo de cada eixo são iguais.

Passo 4

Para encontrar a distância interplanar dhkl, precisamos usar a fórmula que relaciona os índices de Miller com o parâmetro de rede. A distância entre planos adjacentes em uma rede cúbica é dada por:
dhkl = araizh^2+k^2+l^2
Essa fórmula nos dá a distância entre dois planos paralelos com os mesmos índices (hkl).

Passo 5

Vamos provar essa fórmula. Imagine um plano definido por (hkl) na estrutura cúbica. A normal desse plano tem uma direção que pode ser representada pelo vetor (h, k, l). A distância mais curta entre planos paralelos é a distância ao longo dessa normal.

Passo 6

A distância entre dois pontos consecutivos ao longo da normal é igual ao parâmetro de rede a dividido pelo comprimento do vetor normal (h, k, l). O comprimento desse vetor é:
raizh^2+k^2+l^2
Portanto, a distância interplanar é:
dhkl = araizh^2+k^2+l^2

Resposta

A distância interplanar para planos (hkl) em uma estrutura cúbica é dada por:
dhkl = araizh^2+k^2+l^2

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