Determinar a equação da energia de deformação da viga A B e a equação de deslocamento no ponto C usando o Teorema de Clayperon para o carregamento mostrado, utilizando dois tipos de materiais diferentes, com os seguintes dados:
  • \mathrm{P}= últimos dois dígitos do código de matrícula do aluno, em kN
  • E=69 \mathrm{GPa} (alumínio) e 200 GPa (aço)
  • I = usar I_{x} para o perfil I310x60,7 (Apêndice C).
Após isso,
(a) Plote um gráfico da curva de energia de deformação da viga A B com os valores de L, de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o alumínio como material da viga
(b) Plote um gráfico da curva de energia de deformação da viga A B com os valores de L, de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o aço como material da viga
(c) Plote um gráfico da curva de deslocamento da viga AB com os valores de L , de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o alumínio como material da viga
(d) Plote um gráfico da curva de deslocamento da viga AB com os valores de L , de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o aço como material da viga

E responda:

  • Qual dos dois materiais possui a maior energia de deformação, e por quê.
  • Se o material A possui uma maior energia de deformação que o material B, altere o perfil da viga do material A para que ele tenha uma energia de deformação menor que o material B, e repita as letras (a) e (b) com o novo perfil para o material A.

Passo 1

O enunciado descreve uma viga simplesmente apoiada em A e B de comprimento total L, com uma força concentrada P atuando no ponto médio C. Pede-se
– a energia de deformação U da viga AB como função de L (Teorema de Castigliano) e
– o deslocamento vertical em C, \delta_C, obtido por \partial U/\partial P.
Em seguida, devemos traçar gráficos de U(L) e \delta_C(L) para L=0 até 8,m, em incrementos de 1,m, usando dois materiais: alumínio ( E_1=69,GPa) e aço ( E_2=200,GPa), ambos com o mesmo momento de inércia I (perfil I310×60,7 do Apêndice C).

Passo 2

Para uma viga simplesmente apoiada com carga P no meio, o diagrama de momento fletor é linear, com
M(x)=\frac{P}{2}\,x\quad(0\le x\le L/2),
e simetricamente para L/2\le x\le L. Pelo Teorema de Castigliano, a energia de deformação é
U \;=\;\int_{0}^{L}\frac{M(x)^2}{2\,E\,I}\,\mathrm{d}x \;=\;2\int_{0}^{L/2}\frac{\bigl(P\,x/2\bigr)^2}{2\,E\,I}\,\mathrm{d}x \;=\;\frac{P^2}{4\,E\,I}\int_{0}^{L/2}x^2\,\mathrm{d}x \;=\;\frac{P^2\,L^3}{96\,E\,I}\,.

Passo 3

O deslocamento em C é obtido por
\delta_C \;=\;\frac{\partial U}{\partial P} \;=\;\frac{\partial}{\partial P}\Bigl(\frac{P^2\,L^3}{96\,E\,I}\Bigr) \;=\;\frac{P\,L^3}{48\,E\,I}\,,
que bate com o resultado clássico \delta_{\max}=PL^3/(48EI).

Passo 4

Portanto, em função de L temos as fórmulas gerais
U(L)\;=\;\frac{P^2\,L^3}{96\,E\,I}, \qquad \delta_C(L)\;=\;\frac{P\,L^3}{48\,E\,I}.

Passo 5

Para os dois materiais, tomamos
E_1=69\,\mathrm{GPa}\quad(\text{alumínio}), \quad E_2=200\,\mathrm{GPa}\quad(\text{aço}),íç
e o mesmo I do perfil I310×60,7. Basta agora avaliar U(L) em cada caso. Como U\propto1/E, para cada L de 0 a 8,m em passos de 1,m calcula-se
U_1(L)=\frac{P^2\,L^3}{96\,E_1\,I}, \quad U_2(L)=\frac{P^2\,L^3}{96\,E_2\,I}.
Análogo para \delta_C(L).

Passo 6

Para traçar os gráficos:
– Crie uma tabela de L de 0 a 8 em incrementos de 1.
– Em cada linha calcule U_1(L) e U_2(L) pela fórmula acima.
– Plote U vs.\ L (apenas para alumínio, depois apenas para aço).
– Repita o processo para \delta_C.
O formato típico será uma curva U\propto L^3, subindo rapidamente com L.

Passo 7

Comparando os dois materiais vemos que
\frac{U_1}{U_2}=\frac{E_2}{E_1}=\frac{200}{69}\approx2{,}9>1,
ou seja, para mesmo L e P, a energia armazenada na viga de alumínio é cerca de 2,9 vezes maior que na de aço. Isso acontece porque menor E gera maior deformação para a mesma carga, e portanto maior energia de deformação.

Passo 8

Para que a viga de alumínio tenha energia menor que a de aço, basta aumentar seu momento de inércia I. Queremos U_{\rm alu}<U_{\rm aço}ç, isto é
\frac{P^2L^3}{96\,E_1\,I_{\rm novo}} < \frac{P^2L^3}{96\,E_2\,I},
o que implica
I_{\rm novo}>\frac{E_2}{E_1}\,I\approx2{,}9\,I.
Escolhemos portanto um perfil cujo I seja pelo menos 3 vezes maior que o do I310×60,7 (por exemplo um IPE 600 ou similar).

Passo 9

Com o novo I_{\rm novo}\approx3I, refaça os gráficos de U(L) para alumínio substituindo I\to I_{\rm novo}. As curvas serão similares, mas com valores de U cerca de um terço dos anteriores, garantindo que agora o alumínio de perfil maior armazene menos energia do que o aço original.

Resposta

A energia de deformação e o deslocamento em C são, em geral,
\boxed{ U(L)=\frac{P^2\,L^3}{96\,E\,I}, \qquad \delta_C(L)=\frac{P\,L^3}{48\,E\,I}. }
(a)–(d) montam-se tabelas de L=0,1,2,\dots,8,m e calculam-se U e \delta_C para E=69,GPa e E=200,GPa, com I do perfil escolhido, e plota-se cada curva.
– O alumínio ( E=69 GPa) armazena maior energia que o aço ( E=200 GPa) porque U\propto1/E.
– Ao aumentar o momento de inércia do alumínio em fator \approx3, obtém-se curvas de energia menores que as do aço original, cumprindo a última parte do enunciado.

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