Determinar a equação da energia de deformação da viga
e a equação de deslocamento no ponto
usando o Teorema de Clayperon para o carregamento mostrado, utilizando dois tipos de materiais diferentes, com os seguintes dados:
-
últimos dois dígitos do código de matrícula do aluno, em kN
-
(alumínio) e 200 GPa (aço)
- I = usar
para o perfil I310x60,7 (Apêndice C).
Após isso,
(a) Plote um gráfico da curva de energia de deformação da viga
com os valores de
, de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o alumínio como material da viga
(b) Plote um gráfico da curva de energia de deformação da viga
com os valores de
, de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o aço como material da viga
(c) Plote um gráfico da curva de deslocamento da viga AB com os valores de L , de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o alumínio como material da viga
(d) Plote um gráfico da curva de deslocamento da viga AB com os valores de L , de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o aço como material da viga
E responda:
- Qual dos dois materiais possui a maior energia de deformação, e por quê.
- Se o material A possui uma maior energia de deformação que o material B, altere o perfil da viga do material A para que ele tenha uma energia de deformação menor que o material B, e repita as letras (a) e (b) com o novo perfil para o material A.
(a) Plote um gráfico da curva de energia de deformação da viga
(b) Plote um gráfico da curva de energia de deformação da viga
(c) Plote um gráfico da curva de deslocamento da viga AB com os valores de L , de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o alumínio como material da viga
(d) Plote um gráfico da curva de deslocamento da viga AB com os valores de L , de 0 até 8 m , usando incrementos de 1 m , utilizando o aço como material da viga
Passo 1
O enunciado descreve uma viga simplesmente apoiada em A e B de comprimento total
, com uma força concentrada
atuando no ponto médio
. Pede-se
– a energia de deformação da viga
como função de
(Teorema de Castigliano) e
– o deslocamento vertical em ,
, obtido por
.
Em seguida, devemos traçar gráficos de e
para
até
,m, em incrementos de
,m, usando dois materiais: alumínio (
,GPa) e aço (
,GPa), ambos com o mesmo momento de inércia
(perfil I310×60,7 do Apêndice C).
– a energia de deformação
– o deslocamento vertical em
Em seguida, devemos traçar gráficos de
Passo 2
Para uma viga simplesmente apoiada com carga
no meio, o diagrama de momento fletor é linear, com
e simetricamente para
. Pelo Teorema de Castigliano, a energia de deformação é
Passo 3
O deslocamento em
é obtido por
que bate com o resultado clássico
.
Passo 4
Portanto, em função de
temos as fórmulas gerais
Passo 5
Para os dois materiais, tomamos
e o mesmo
do perfil I310×60,7. Basta agora avaliar
em cada caso. Como
, para cada
de
a
,m em passos de
,m calcula-se
Análogo para
.
Passo 6
Para traçar os gráficos:
– Crie uma tabela de de
a
em incrementos de
.
– Em cada linha calcule e
pela fórmula acima.
– Plote vs.\
(apenas para alumínio, depois apenas para aço).
– Repita o processo para .
O formato típico será uma curva , subindo rapidamente com
.
– Crie uma tabela de
– Em cada linha calcule
– Plote
– Repita o processo para
O formato típico será uma curva
Passo 7
Comparando os dois materiais vemos que
ou seja, para mesmo
e
, a energia armazenada na viga de alumínio é cerca de 2,9 vezes maior que na de aço. Isso acontece porque menor
gera maior deformação para a mesma carga, e portanto maior energia de deformação.
Passo 8
Para que a viga de alumínio tenha energia menor que a de aço, basta aumentar seu momento de inércia
. Queremos
, isto é
o que implica
Escolhemos portanto um perfil cujo
seja pelo menos
vezes maior que o do I310×60,7 (por exemplo um IPE 600 ou similar).
Passo 9
Com o novo
, refaça os gráficos de
para alumínio substituindo
. As curvas serão similares, mas com valores de
cerca de um terço dos anteriores, garantindo que agora o alumínio de perfil maior armazene menos energia do que o aço original.
Resposta
A energia de deformação e o deslocamento em
são, em geral,
(a)–(d) montam-se tabelas de
,m e calculam-se
e
para
,GPa e
,GPa, com
do perfil escolhido, e plota-se cada curva.
– O alumínio ( GPa) armazena maior energia que o aço (
GPa) porque
.
– Ao aumentar o momento de inércia do alumínio em fator , obtém-se curvas de energia menores que as do aço original, cumprindo a última parte do enunciado.
– O alumínio (
– Ao aumentar o momento de inércia do alumínio em fator