Determine os pontos críticos das funções abaixo e verifique os que são de máximo, mínimo ou pontos de sela. Calcule os valores extremos das funções, quando existirem.
;
Passo 1
O enunciado pede claramente três coisas para a função
:
- Determinar os pontos críticos (onde o gradiente é zero ou não existe).
- Verificar, para cada ponto crítico, se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
- Calcular os valores extremos da função, quando existirem (extremos locais e extremos globais).
Informação dada:
- A função é
, definida para todos .
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras. Explicando o procedimento:
- Para obter
deriva-se mantendo fixo; a função é linear em multiplicada por , que é constante em relação a . - Para obter
deriva-se mantendo fixo; usa-se a regra de derivação da função .
Cálculo:
Passo 3
Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são zero (ou não existem). Aqui as derivadas existem em todo
, então resolvemos o sistema
Vou resolver isso passo a passo.
Passo 4
Resolver
. As soluções são
pois seno é zero em múltiplos inteiros de
.
Substituindo em
: para
tem-se
, que nunca é zero (é
). Assim a equação
força
Portanto os pontos críticos são todos da forma
Passo 5
Próxima etapa: classificar esses pontos. Vou usar o teste da segunda derivada (teste do discriminante do Hessiano) para funções de duas variáveis.
Apresentando a ideia: calcula-se as segundas derivadas
monta-se o discriminante
e aplica-se a regra:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Passo 6
Calcular as segundas derivadas explicitamente:
Passo 7
Avaliar essas segundas derivadas nos pontos críticos
. Substituindo
e
:
Agora o discriminante em
é
Passo 8
Interpretação do valor de
: temos
. Pelo teste das segundas derivadas, isso indica que cada ponto
é um ponto de sela. Ou seja, em qualquer vizinhança desses pontos existem direções em que a função aumenta e direções em que a função diminui.
Passo 9
Calcular os valores da função nesses pontos e verificar extremos globais:
- O valor em cada ponto crítico é
Logo todos os pontos críticos têm valor
.
Sobre extremos globais: a função é não limitada porque pode-se escolher
tal que
(por exemplo
) e variar
arbitrariamente. Por exemplo,
Portanto não existem máximo global nem mínimo global; a função é ilimitada acima e abaixo. Em termos de supremo e ínfimo:
Resposta
Pontos críticos:
Classificação: todos os pontos
são pontos de sela.
Valores nos pontos críticos:
Extremos globais: não existem;
e