Determine os pontos críticos das funções abaixo e verifique os que são de máximo, mínimo ou pontos de sela. Calcule os valores extremos das funções, quando existirem.
z=x \operatorname{sen} y;

Passo 1

O enunciado pede claramente três coisas para a função z=x\operatorname{sen} y:
  • Determinar os pontos críticos (onde o gradiente é zero ou não existe).
  • Verificar, para cada ponto crítico, se é máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
  • Calcular os valores extremos da função, quando existirem (extremos locais e extremos globais).
Informação dada:
  • A função é z(x,y)=x\operatorname{sen} y, definida para todos (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras. Explicando o procedimento:
  • Para obter \dfrac{\partial z}{\partial x} deriva-se mantendo y fixo; a função é linear em x multiplicada por \operatorname{sen} y, que é constante em relação a x.
  • Para obter \dfrac{\partial z}{\partial y} deriva-se mantendo x fixo; usa-se a regra de derivação da função \operatorname{sen} y.
Cálculo:
\dfrac{\partial z}{\partial x}=\operatorname{sen} y, \qquad \dfrac{\partial z}{\partial y}=x\cos y.

Passo 3

Pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são zero (ou não existem). Aqui as derivadas existem em todo \mathbb{R}^2, então resolvemos o sistema
\operatorname{sen} y=0,\qquad x\cos y=0.
Vou resolver isso passo a passo.

Passo 4

Resolver \operatorname{sen} y=0. As soluções são
y=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
pois seno é zero em múltiplos inteiros de \pi.
Substituindo em x\cos y=0: para y=k\pi tem-se \cos y=\cos(k\pi)=(-1)^k, que nunca é zero (é \pm1). Assim a equação x\cos y=0 força
x=0.
Portanto os pontos críticos são todos da forma
(0,k\pi),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Próxima etapa: classificar esses pontos. Vou usar o teste da segunda derivada (teste do discriminante do Hessiano) para funções de duas variáveis.
Apresentando a ideia: calcula-se as segundas derivadas
z_{xx}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2},\quad z_{xy}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y},\quad z_{yy}=\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2},
monta-se o discriminante
D=z_{xx}z_{yy}-\big(z_{xy}\big)^2,
e aplica-se a regra:
  • Se D>0 e z_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e z_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.

Passo 6

Calcular as segundas derivadas explicitamente:
z_{xx}=0, \qquad z_{xy}=\cos y, \qquad z_{yy}=-x\operatorname{sen} y.

Passo 7

Avaliar essas segundas derivadas nos pontos críticos (0,k\pi). Substituindo x=0 e y=k\pi:
z_{xx}(0,k\pi)=0, \qquad z_{xy}(0,k\pi)=\cos(k\pi)=(-1)^k, \qquad z_{yy}(0,k\pi)=-0\cdot\operatorname{sen}(k\pi)=0.
Agora o discriminante em (0,k\pi) é
D(0,k\pi)=z_{xx}z_{yy}-\big(z_{xy}\big)^2=0\cdot 0 - \big((-1)^k\big)^2 = -1.

Passo 8

Interpretação do valor de D: temos D(0,k\pi)=-1<0. Pelo teste das segundas derivadas, isso indica que cada ponto (0,k\pi) é um ponto de sela. Ou seja, em qualquer vizinhança desses pontos existem direções em que a função aumenta e direções em que a função diminui.

Passo 9

Calcular os valores da função nesses pontos e verificar extremos globais:
  • O valor em cada ponto crítico é
z(0,k\pi)=0\cdot\operatorname{sen}(k\pi)=0.
Logo todos os pontos críticos têm valor 0.
Sobre extremos globais: a função é não limitada porque pode-se escolher y tal que \operatorname{sen} y=1 (por exemplo y=\tfrac{\pi}{2}) e variar x arbitrariamente. Por exemplo,
z(x,\tfrac{\pi}{2})=x\quad\text{assume valores }(-\infty,+\infty)\text{ quando }x\to\pm\infty.
Portanto não existem máximo global nem mínimo global; a função é ilimitada acima e abaixo. Em termos de supremo e ínfimo:
\sup z=+\infty,\qquad \inf z=-\infty.

Resposta

Pontos críticos: (0,k\pi),\\ k\in\mathbb{Z}.
Classificação: todos os pontos (0,k\pi) são pontos de sela.
Valores nos pontos críticos: z(0,k\pi)=0.
Extremos globais: não existem; \sup z=+\infty e \inf z=-\infty.