Determine os pontos críticos das funções abaixo e verifique os que são de máximo, mínimo ou pontos de sela. Calcule os valores extremos das funções, quando existirem.
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que a função nos dá.
- A função é
. - O enunciado pede:
- Determinar os pontos críticos da função.
- Verificar, para cada ponto crítico, se é máximo, mínimo ou ponto de sela.
- Calcular os valores extremos da função, quando existirem.
As informações relevantes que já temos da função:
- As derivadas de
são simples: . - A função envolve exponenciais, e sempre vale
para todo .
Passo 2
Conceito rápido e útil: ponto crítico de uma função de duas variáveis é um ponto onde o gradiente é nulo, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são zero. Vou calcular as derivadas parciais de
.
A derivada parcial de
em relação a
é
Aqui usei que
e
(tratando
como constante).
A derivada parcial de
em relação a
é
Mesma ideia:
e
.
Passo 3
Agora imposto que ambas as derivadas parciais sejam zero para encontrar pontos críticos:
Fatorando
(que nunca é zero),
Similarmente,
fatorando
,
Portanto o único ponto crítico é
.
Passo 4
Calculo o valor da função nesse ponto crítico (útil saber o valor para comparar extremos):
Passo 5
Para classificar o ponto crítico uso o teste das derivadas segundas (Hessiana). Vou explicar: a matriz Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais; para uma função
ela é
Seja
. As condições (segunda derivada teste) são:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora calculo as segundas derivadas. Partindo de
,
Partindo de
,
A derivada mista é
Passo 6
Avalio as segundas derivadas no ponto
:
Logo a Hessiana em
é
O determinante é
Como
, pelo teste das derivadas segundas o ponto
é um ponto de sela (saddle point). Portanto não é nem máximo nem mínimo local.]
Passo 7
Agora verifico se existem extremos globais (máximo ou mínimo absoluto). A ideia é analisar alguns caminhos para ver se a função fica arbitrariamente grande positiva ou arbitrariamente negativa.
Considere a reta
. Ao substituir
temos
Quando
temos
e
, então
Isso mostra que a função é não limitada superiormente (sem máximo global).
Considere agora a diagonal
. Substituindo
dá
Quando
,
e
, portanto
Isso mostra que a função é não limitada inferiormente (sem mínimo global).
Portanto não existem extremos globais; a função assume valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente pequenos negativos.
Passo 8
Resumo curto e amigável: existe apenas um ponto crítico
, é um ponto de sela, o valor lá é
, e a função não tem máximos nem mínimos globais porque tende a
em certos caminhos e a
em outros.
Resposta
Ponto crítico:
com
Classificação: ponto de sela (nem máximo nem mínimo local)
Valores extremos globais: não existem (a função é ilimitada superior e inferiormente)
Classificação: ponto de sela (nem máximo nem mínimo local)
Valores extremos globais: não existem (a função é ilimitada superior e inferiormente)