Determine os pontos críticos das funções abaixo e verifique os que são de máximo, mínimo ou pontos de sela. Calcule os valores extremos das funções, quando existirem.
z=e^{x}+e^{y}-e^{x+y};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que a função nos dá.
  • A função é z=e^{x}+e^{y}-e^{x+y}.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar os pontos críticos da função.
    2. Verificar, para cada ponto crítico, se é máximo, mínimo ou ponto de sela.
    3. Calcular os valores extremos da função, quando existirem.
As informações relevantes que já temos da função:
  • As derivadas de e^{t} são simples: \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • A função envolve exponenciais, e sempre vale e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Conceito rápido e útil: ponto crítico de uma função de duas variáveis é um ponto onde o gradiente é nulo, ou seja, onde ambas as derivadas parciais são zero. Vou calcular as derivadas parciais de z.
A derivada parcial de z em relação a x é
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{x}-e^{x+y}.
Aqui usei que \dfrac{\partial}{\partial x}e^{x}=e^{x} e \dfrac{\partial}{\partial x}e^{x+y}=e^{x+y} (tratando y como constante).
A derivada parcial de z em relação a y é
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{y}-e^{x+y}.
Mesma ideia: \dfrac{\partial}{\partial y}e^{y}=e^{y} e \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x+y}=e^{x+y}.

Passo 3

Agora imposto que ambas as derivadas parciais sejam zero para encontrar pontos críticos:
\frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{x}-e^{x+y}=0.
Fatorando e^{x} (que nunca é zero),
e^{x}(1-e^{y})=0 \quad\Rightarrow\quad 1-e^{y}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{y}=1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Similarmente,
\frac{\partial z}{\partial y}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{y}-e^{x+y}=0,
fatorando e^{y},
e^{y}(1-e^{x})=0 \quad\Rightarrow\quad 1-e^{x}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{x}=1 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto o único ponto crítico é \,(x,y)=(0,0).

Passo 4

Calculo o valor da função nesse ponto crítico (útil saber o valor para comparar extremos):
z(0,0)=e^{0}+e^{0}-e^{0+0}=1+1-1=1.

Passo 5

Para classificar o ponto crítico uso o teste das derivadas segundas (Hessiana). Vou explicar: a matriz Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais; para uma função z(x,y) ela é
H=\begin{pmatrix} z_{xx} & z_{xy}\\[4pt] z_{yx} & z_{yy} \end{pmatrix}.
Seja D=\det H = z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^{2}. As condições (segunda derivada teste) são:
  • Se D>0 e z_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e z_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Agora calculo as segundas derivadas. Partindo de
\dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{x}-e^{x+y},
z_{xx}=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=e^{x}-e^{x+y}.
Partindo de \dfrac{\partial z}{\partial y}=e^{y}-e^{x+y},
z_{yy}=\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=e^{y}-e^{x+y}.
A derivada mista é
z_{xy}=\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=-e^{x+y}.]

Passo 6

Avalio as segundas derivadas no ponto (0,0):
z_{xx}(0,0)=e^{0}-e^{0}=1-1=0, \qquad z_{yy}(0,0)=e^{0}-e^{0}=0, \qquad z_{xy}(0,0)=-e^{0}=-1.
Logo a Hessiana em (0,0) é
H(0,0)=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante é
D=\det H(0,0)=0\cdot 0 - (-1)^{2} = -1 <0.
Como D<0, pelo teste das derivadas segundas o ponto (0,0) é um ponto de sela (saddle point). Portanto não é nem máximo nem mínimo local.]

Passo 7

Agora verifico se existem extremos globais (máximo ou mínimo absoluto). A ideia é analisar alguns caminhos para ver se a função fica arbitrariamente grande positiva ou arbitrariamente negativa.
Considere a reta y=-x. Ao substituir y=-x temos
z(x,-x)=e^{x}+e^{-x}-e^{0}=e^{x}+e^{-x}-1.
Quando x\to+\infty temos e^{x}\to+\infty e e^{-x}\to 0, então
z(x,-x)\to +\infty.
Isso mostra que a função é não limitada superiormente (sem máximo global).
Considere agora a diagonal y=x. Substituindo y=x
z(x,x)=e^{x}+e^{x}-e^{2x}=2e^{x}-e^{2x}=e^{x}(2-e^{x}).
Quando x\to+\infty, e^{x}\to+\infty e 2-e^{x}\to -\infty, portanto
z(x,x)\to -\infty.
Isso mostra que a função é não limitada inferiormente (sem mínimo global).
Portanto não existem extremos globais; a função assume valores arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente pequenos negativos.

Passo 8

Resumo curto e amigável: existe apenas um ponto crítico (0,0), é um ponto de sela, o valor lá é 1, e a função não tem máximos nem mínimos globais porque tende a +\infty em certos caminhos e a -\infty em outros.

Resposta

Ponto crítico: (0,0) com z(0,0)=1
Classificação: ponto de sela (nem máximo nem mínimo local)
Valores extremos globais: não existem (a função é ilimitada superior e inferiormente)