Determine the maximum shear stress in the strut if it is subjected to a shear force of V=20 \mathrm{kN}.

Passo 1

O enunciado dá uma força cortante V=20\\ \mathrm{kN} aplicada à barra (strut) e pede a tensão de cisalhamento máxima. Informação listada:
  • Dado: V=20\\ \mathrm{kN}.
  • Pedido: determinar a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max} na seção transversal da barra.
Informações que NÃO foram fornecidas (são essenciais para obter um valor numérico):
  • Geometria da seção transversal (por exemplo: circular sólida, retangular, tubo retangular, seção I, etc.).
  • Dimensões da seção (por exemplo: diâmetro d, largura b e altura h, espessura da alma, etc.).
Sem a forma e dimensões da seção NÃO é possível calcular numericamente \tau_{\max}. Vou explicar passo a passo como se calcula \tau_{\max} para os casos mais comuns; assim você aprende a aplicar na prova assim que souber a seção.

Passo 2

Princípio geral (fórmula de cisalhamento em vigas):
\tau = \frac{V\,Q}{I\,t}
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento num ponto da seção (N/m², ou Pa).
  • V é a força cortante interna na seção (N).
  • Q é o primeiro momento de área da parte da seção que está entre o ponto onde se calcula \tau e a borda externa (m³). Formalmente Q=\int_A y\,dA, com y medido a partir do eixo neutro.
  • I é o momento de inércia da seção inteira em relação ao eixo neutro (m^4).
  • t é a largura efetiva da seção na linha onde se calcula \tau (m) — por exemplo, para uma placa estreita é a espessura local.
Explicando didaticamente: \dfrac{V}{I} é “intensidade” da curvatura das forças internas, Q mede quanto “braço” a área acima (ou abaixo) do ponto fornece, e t transforma o fluxo de esforço em tensão local. Para encontrar \tau_{\max} normalmente avalia-se a fórmula no ponto onde \tau fica máxima (para muitos perfis isso é no eixo neutro, mas depende da forma).

Passo 3

Caso retangular (passo completo e didático)
  • Seção: largura b e altura h. Área A=b h.
  • Momento de inércia em relação ao eixo neutro horizontal: I=\dfrac{b h^{3}}{12}.
  • Para vírgula no eixo neutro (centro), o primeiro momento da metade superior (a área acima do centro) é Q = \text{(área da metade)}\times\text{distância do seu centróide ao eixo neutro} =\frac{b h}{2}\cdot\frac{h}{4}=\frac{b h^{2}}{8}.áâó
  • A largura efetiva onde se calcula \tau no eixo neutro é t=b.
Substituindo em \tau=VQ/(It):
\tau_{\max}=\frac{V\cdot \dfrac{b h^{2}}{8}}{\dfrac{b h^{3}}{12}\cdot b}
Agora simplificar passo a passo (muito importante aprender a reduzir frações na prova):
  • Denominador: I t=\dfrac{b h^{3}}{12}\cdot b=\dfrac{b^{2} h^{3}}{12}.
  • Fração: \dfrac{\dfrac{b h^{2}}{8}}{\dfrac{b^{2} h^{3}}{12}}=\dfrac{b h^{2}}{8}\cdot\dfrac{12}{b^{2} h^{3}}=\dfrac{12}{8}\cdot\dfrac{1}{b h}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{A}.
    Logo a expressão conhecida:
\tau_{\max}=\frac{3}{2}\,\frac{V}{A}.
Interpretação prática: para seção retangular a tensão de cisalhamento máxima vale 1{,}5 vezes a média V/A, e ocorre no eixo neutro.

Passo 4

Caso circular sólida (derivação passo a passo)
  • Seção circular de raio R. Área A=\pi R^{2}.
  • Momento de inércia: I=\dfrac{\pi R^{4}}{4}.
  • Para calcular \tau no eixo neutro, toma-se a metade superior (semicírculo). O centróide do semicírculo a partir da base (diâmetro) fica em y_{\mathrm{c}}=\dfrac{4R}{3\pi}. A área do semicírculo é A_{\mathrm{semi}}=\dfrac{\pi R^{2}}{2}. Então Q = A_{\mathrm{semi}}\cdot y_{\mathrm{c}}=\frac{\pi R^{2}}{2}\cdot\frac{4R}{3\pi}=\frac{2R^{3}}{3}.
  • A largura efetiva na linha neutra é t=2R (a largura do diâmetro local).
Aplicando \tau=VQ/(I t):
\tau_{\max}=\frac{V\cdot \dfrac{2R^{3}}{3}}{\dfrac{\pi R^{4}}{4}\cdot 2R} =\frac{V\cdot \dfrac{2R^{3}}{3}}{\dfrac{\pi R^{5}}{2}} =\frac{4}{3\pi}\,\frac{V}{R^{2}}.
Agora usar A=\pi R^{2}\Rightarrow 1/R^{2}=\pi /A. Substituindo:
\tau_{\max}=\frac{4}{3\pi}\,V\cdot\frac{\pi}{A}=\frac{4V}{3A}.
Resultado prático conhecido: para seção circular sólida
\tau_{\max}=\frac{4V}{3A}.
Observe que isto dá \tau_{\max}\approx 1{,}333\dots\,V/A, ou seja, um pouco menor que o fator 1{,}5 do retângulo.

Passo 5

Outros perfis importantes (resumo rápido e como aplicar)
  • Seção retangular oclusa: \tau_{\max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A} (ocorre no eixo neutro).
  • Seção circular sólida: \tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{V}{A} (ocorre no centro).
  • Seção em caixa fina ou alma de I: normalmente a maior tensão de cisalhamento aparece na alma; usa-se \tau=\dfrac{VQ}{I t_{w}} com t_{w} = espessura da alma, e Q calculado pela área acima da posição considerada (atenção ao corte através das mesas). Não existe uma fórmula “única” como nos casos simples: é preciso aplicar a fórmula geral.
  • Para perfis de parede fina pode-se usar fluxo de cisalhamento q=\dfrac{VQ}{I} e depois \tau=q/t.

Passo 6

Como usar isso na prova (receita passo a passo):
  1. Identificar a forma da seção e anotar as dimensões (converter tudo para metros).
  2. Calcular a área A e o momento de inércia I da seção inteira.
  3. Determinar o ponto onde \tau é máxima (geralmente eixo neutro para retângulo/círculo).
  4. Calcular Q (primeiro momento) da parte da seção entre o ponto e a borda externa.
  5. Encontrar a largura efetiva t naquele ponto.
  6. Aplicar \tau=VQ/(I t) e simplificar; para retângulo/círculo pode usar as fórmulas prontas do Passo 3–4.

Passo 7

Aplicando ao seu V=20\\ \mathrm{kN} sem dimensões: escrever a forma prática das fórmulas para inserir V e a área A
  • Para seção retangular: \tau_{\max}=\frac{3}{2}\frac{V}{A}=\frac{3}{2}\frac{20\times10^{3}}{A}=\frac{30\times10^{3}}{A}\\ \text{(Pa)},onde A em \mathrm{m}^{2}.
  • Para seção circular sólida: \tau_{\max}=\frac{4}{3}\frac{V}{A}=\frac{4}{3}\frac{20\times10^{3}}{A}=\frac{26{,}666\ldots\times10^{3}}{A}\\ \text{(Pa)}.
Se você me disser a geometria e as dimensões (por exemplo: seção circular com diâmetro d, ou retângulo b\times h), eu calculo numericamente \tau_{\max} passo a passo e te mostro as contas completas.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \tau_{\max} sem a geometria e dimensões da seção transversal; fórmulas úteis: para seção retangular \tau_{\max}=\dfrac{3}{2}\dfrac{V}{A} e para seção circular sólida \tau_{\max}=\dfrac{4}{3}\dfrac{V}{A}.

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