Encontre a linearização
da função em
Passo 1
O enunciado fornece a função
e o ponto de aproximação
. A tarefa é: encontrar a linearização
de
em
. Informações relevantes dadas:
- A função:
. - O ponto onde linearizar:
. - O que se pede: a expressão da reta tangente em
que é a linearização.
Passo 2
O que é linearização? A linearização de uma função em torno de
é a aproximação por uma reta (reta tangente) ao redor de
. A fórmula padrão é
Aqui:
-
é o valor da função no ponto de aproximação. -
é a derivada de avaliada em . -
é a variação em relação ao ponto .
Essa reta fornece uma boa aproximação depara próximos de . É a mesma ideia do polinômio de Taylor de ordem 1.
Passo 3
Precisamos da derivada
. Primeiro reescrevo
com potência:
Uso a regra do poder: se
então
. Aplicando com
:
Expliquei: multiplica-se pela potência e diminui-se a potência em 1.
Passo 4
Agora avalio
e
em
.
Passo 5
Substituo na fórmula da linearização:
Posso simplificar a forma:
Então a linearização em
pode ser escrita como
ou
.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para prova: usar
sempre que precisar aproximar
perto de
. Por exemplo, para estimar
usa-se
que é bem próximo do valor exato
. Vai tranquilo — essa técnica salva tempo em provas!