Encontre a linearização L(x) da função em a
f(x)=\frac{1}{x^{2}}, \quad a=1

Passo 1

O enunciado fornece a função \,f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\, e o ponto de aproximação a=1. A tarefa é: encontrar a linearização L(x) de f em a. Informações relevantes dadas:
  • A função: \,f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\,.
  • O ponto onde linearizar: \,a=1\,.
  • O que se pede: a expressão da reta tangente em x=a que é a linearização.

Passo 2

O que é linearização? A linearização de uma função em torno de a é a aproximação por uma reta (reta tangente) ao redor de a. A fórmula padrão é
L(x)=f(a)+f'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • \,f(a)\, é o valor da função no ponto de aproximação.
  • \,f'(a)\, é a derivada de f avaliada em a.
  • \,x-a\, é a variação em relação ao ponto a.
    Essa reta fornece uma boa aproximação de f(x) para x próximos de a. É a mesma ideia do polinômio de Taylor de ordem 1.

Passo 3

Precisamos da derivada f'(x). Primeiro reescrevo f com potência:
f(x)=x^{-2}.
Uso a regra do poder: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=-2:
f'(x)=(-2)\,x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}.
Expliquei: multiplica-se pela potência e diminui-se a potência em 1.

Passo 4

Agora avalio f e f' em a=1.
f(1)=\dfrac{1}{1^{2}}=1, \qquad f'(1)=-\dfrac{2}{1^{3}}=-2.

Passo 5

Substituo na fórmula da linearização:
L(x)=f(1)+f'(1)\,(x-1)=1+(-2)\,(x-1)=1-2(x-1).
Posso simplificar a forma:
1-2(x-1)=1-2x+2=3-2x.
Então a linearização em a=1 pode ser escrita como \,L(x)=1-2(x-1)\, ou \,L(x)=3-2x\,.

Passo 6

Interpretação rápida e dica para prova: usar \,L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\, sempre que precisar aproximar f(x) perto de a. Por exemplo, para estimar \dfrac{1}{(0{,}99)^{2}} usa-se
L(0{,}99)=3-2(0{,}99)=3-1{,}98=1{,}02,
que é bem próximo do valor exato \dfrac{1}{(0{,}99)^{2}}\approx1{,}0203. Vai tranquilo — essa técnica salva tempo em provas!

Resposta

L(x)=1-2(x-1)=3-2x