Módulo de elasticidade longitudinal: E=208, GPa e
Coeficiente de Poisson: v=0,30.
Obtenha o tensor de deformações completo para os estados de tensões dados em:
a. T=[ccc-20, & -60, & 0 -60, & 60, & 0, 0, & 0, & 40,] M P a;
b. T=[ccc-30, & 0, & 0, 0, & 40, & 0, 0, & 0, & 70,] M P a;
c. T=[ccc0, & 0, & 0, 0, & 100, & 0, 0, & 0, & 0,] M P a;
d. T=[ccc0, & 100, & 0, 100, & 0, & 0, 0, & 0, & 0,] M P a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Módulo de Elasticidade Longitudinal (E) que é 208 GPa e o Coeficiente de Poisson (ν) que é 0,30. Nosso objetivo aqui é encontrar o tensor de deformações completo para diferentes estados de tensões que foram apresentados nas partes a, b, c e d do exercício. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como relacionar tensões e deformações usando a teoria da elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar umas fórmulas básicas. O tensor de deformações (ε) está relacionado ao tensor de tensões (σ) pela seguinte equação, que considera o Módulo de Elasticidade (E) e o Coeficiente de Poisson (ν):
varepsilon = 1E [ sigma - nu (trace(sigma)) I ]
Aqui, “trace(σ)” é a soma dos elementos da diagonal de σ e “I” é a matriz identidade. Essa relação é válida para materiais isotrópicos e na condição de pequenas deformações.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a parte a do exercício. O tensor de tensões dado é:
T = -20 & -60 & 0 -60 & 60 & 0 0 & 0 & 40 , MPa
Primeiro, calculamos a “trace(T)”, que é a soma dos elementos da diagonal principal:
trace(T) = -20 + 60 + 40 = 80 , MPa

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar o tensor de deformações:
varepsilon = 1208 [ T - 0,30 times 80 times I ]
Calculando o termo varepsilon = 1208 [ -20 & -60 & 0 -60 & 60 & 0 0 & 0 & 40 - 24 & 0 & 0 0 & 24 & 0 0 & 0 & 24 ] , então:
varepsilon = 1208 -44 & -60 & 0 -60 & 36 & 0 0 & 0 & 16
Isso resulta em:

Passo 5

Finalmente, dividimos cada elemento da matriz por 208 para obter o tensor de deformações:
varepsilon = -44208 & -60208 & 0 -60208 & 36208 & 0 0 & 0 & 16208
Simplificando as frações:
varepsilon = -0,2115 & -0,2885 & 0 -0,2885 & 0,1731 & 0 0 & 0 & 0,0769

Passo 6

Vamos agora resolver as demais partes do exercício de maneira similar.
Parte b.
Tensor de tensões:
T = -30 & 0 & 0 0 & 40 & 0 0 & 0 & 70 , MPa
Calculando a trace(T):
trace(T) = -30 + 40 + 70 = 80 , MPa
Aplicando a fórmula:
varepsilon = 1208 [ T - 0,30 times 80 times I ] = 1208 [ -30 & 0 & 0 0 & 40 & 0 0 & 0 & 70 - 24 & 0 & 0 0 & 24 & 0 0 & 0 & 24 ] = 1208 -54 & 0 & 0 0 & 16 & 0 0 & 0 & 46
Simplificando:
varepsilon = -0,2596 & 0 & 0 0 & 0,0769 & 0 0 & 0 & 0,2212
Parte c.
Tensor de tensões:
T = 0 & 0 & 0 0 & 100 & 0 0 & 0 & 0 , MPa
Calculando a trace(T):
trace(T) = 0 + 100 + 0 = 100 , MPa
Aplicando a fórmula:
varepsilon = 1208 [ T - 0,30 times 100 times I ] = 1208 [ 0 & 0 & 0 0 & 100 & 0 0 & 0 & 0 - 30 & 0 & 0 0 & 30 & 0 0 & 0 & 30 ] = 1208 -30 & 0 & 0 0 & 70 & 0 0 & 0 & -30
Simplificando:
varepsilon = -0,1442 & 0 & 0 0 & 0,3365 & 0 0 & 0 & -0,1442
Parte d.
Tensor de tensões:
T = 0 & 100 & 0 100 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , MPa
Calculando a trace(T):
trace(T) = 0 + 0 + 0 = 0 , MPa
Aplicando a fórmula:
varepsilon = 1208 [ T - 0,30 times 0 times I ] = 1208 T = 1208 0 & 100 & 0 100 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Simplificando:
varepsilon = 0 & 0,4808 & 0 0,4808 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

O tensor de deformações completo para cada estado de tensões é:
a.
varepsilon = -0,2115 & -0,2885 & 0 -0,2885 & 0,1731 & 0 0 & 0 & 0,0769
b.
varepsilon = -0,2596 & 0 & 0 0 & 0,0769 & 0 0 & 0 & 0,2212
c.
varepsilon = -0,1442 & 0 & 0 0 & 0,3365 & 0 0 & 0 & -0,1442
d.
varepsilon = 0 & 0,4808 & 0 0,4808 & 0 & 0 0 & 0 & 0

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