(Multiplicadores de Lagrange) Determine os pontos da superfície x y^{2} z^{3}=2 que estão mais próximos da origem. (Sugestão: minimize o quadrado da distância d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} ).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os pontos da superfície \;x y^{2} z^{3}=2\; que estão mais próximos da origem. Foi sugerido minimizar o quadrado da distância
d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Informações dadas:
Superfície: \;x y^{2} z^{3}=2.
Objetivo: minimizar \;d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\; sujeito à restrição acima.
Nada mais é fornecido. Vou usar a restrição diretamente e procurar pontos que minimizem d^{2}.
Passo 2
Por que usar multiplicadores de Lagrange? Quando se quer otimizar (minimizar ou maximizar) uma função f(x,y,z) sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0, uma maneira eficiente é introduzir um multiplicador \lambda e resolver o sistema \nabla f = \lambda \nabla g junto com g=0. Aqui escolho f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e g(x,y,z)=x y^{2} z^{3}-2. Explico cada passo para você conseguir repetir na prova.
Defino a função Lagrange (conceito): \mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z). As condições de extremum (sob condições regulares) são as equações \nabla f=\lambda \nabla g e g=0.
Passo 3
Calculo gradientes (cada componente é a derivada parcial).
As equações \nabla f=\lambda \nabla g dão, componente a componente:
2x=\lambda\, y^{2} z^{3},\tag{1}
2y=\lambda\, 2 x y z^{3},\tag{2}
2z=\lambda\, 3 x y^{2} z^{2}.\tag{3}
E a restrição:
x y^{2} z^{3}=2.\tag{4}
Passo 4
Analisar possibilidades de variáveis nulas. Se algum de x,y,z fosse zero, o produto x y^{2} z^{3} seria zero, o que contradiz (4). Logo x\neq0, y\neq0, z\neq0. Assim podemos dividir por x,y,z quando conveniente. Isso simplifica muito as equações.
Passo 5
Manipulo a equação (2). Como y\neq0, divido ambos os lados por 2y:
2z=3\cdot\frac{1}{x z^{3}}\cdot x y^{2} z^{2}=3\frac{y^{2}}{z}.
Multiplico por z:
2z^{2}=3y^{2}.
Usando (6) substituo y^{2}:
2z^{2}=3\cdot(2x^{2})=6x^{2},
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z^{2}=3x^{2}.\tag{7}
Passo 6
Agora tenho relações de módulos entre as variáveis: \;y^{2}=2x^{2} e \;z^{2}=3x^{2}. Escrevo y^{2} e z^{3} em termos de x e uso a restrição (4). Primeiro calcule z^{3}. Escolhendo a raiz quadrada em (7) e lembrando que o sinal pode aparecer, escrevo z=\sigma_x\sqrt{3}\,x, onde \sigma_x=\pm1 indica se z tem o mesmo sinal de x ou não; porém vou trabalhar com potências ímpares/pares na restrição para decidir sinais.
Usando (6) e (7) na restrição (4):
x\cdot (2x^{2})\cdot (z^{3})=2.
Mas z^{3}=(z^{2})\cdot z=(3x^{2})\cdot z=3x^{2}z. Substituindo:
Observe que o sinal de z ficou preso ao sinal de x (já determinamos \sigma_x=+1 no passo anterior, isto é, z=\sqrt{3}\,x), enquanto o sinal de y é independente (porque apenas y^{2} apareceu nas equações). Portanto os pontos candidatos são
onde s_1=\pm1 e s_2=\pm1 (quatro combinações possíveis).
Passo 8
Verifico rapidamente que essas quatro combinações satisfazem a restrição (a verificação é direta porque a dependência de sinais some quando aparece y^{2} e z^{3} dá um fator s_1 que se anula por s_1^{2}=1 etc.) e portanto são pontos admissíveis.
Calculo a distância mínima (opcional, é útil para confirmar que é mínimo): com x^{2}=3^{-1/2},