(Multiplicadores de Lagrange) Determine os pontos da superfície x y^{2} z^{3}=2 que estão mais próximos da origem. (Sugestão: minimize o quadrado da distância d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os pontos da superfície \;x y^{2} z^{3}=2\; que estão mais próximos da origem. Foi sugerido minimizar o quadrado da distância
d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Informações dadas:
  • Superfície: \;x y^{2} z^{3}=2.
  • Objetivo: minimizar \;d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\; sujeito à restrição acima.
    Nada mais é fornecido. Vou usar a restrição diretamente e procurar pontos que minimizem d^{2}.

Passo 2

Por que usar multiplicadores de Lagrange? Quando se quer otimizar (minimizar ou maximizar) uma função f(x,y,z) sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0, uma maneira eficiente é introduzir um multiplicador \lambda e resolver o sistema \nabla f = \lambda \nabla g junto com g=0. Aqui escolho f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} e g(x,y,z)=x y^{2} z^{3}-2. Explico cada passo para você conseguir repetir na prova.
Defino a função Lagrange (conceito): \mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda g(x,y,z). As condições de extremum (sob condições regulares) são as equações \nabla f=\lambda \nabla g e g=0.

Passo 3

Calculo gradientes (cada componente é a derivada parcial).
\nabla f=(2x,\;2y,\;2z).
\nabla g=\bigl(y^{2}z^{3},\;2xy z^{3},\;3x y^{2} z^{2}\bigr).
As equações \nabla f=\lambda \nabla g dão, componente a componente:
2x=\lambda\, y^{2} z^{3},\tag{1}
2y=\lambda\, 2 x y z^{3},\tag{2}
2z=\lambda\, 3 x y^{2} z^{2}.\tag{3}
E a restrição:
x y^{2} z^{3}=2.\tag{4}

Passo 4

Analisar possibilidades de variáveis nulas. Se algum de x,y,z fosse zero, o produto x y^{2} z^{3} seria zero, o que contradiz (4). Logo x\neq0, y\neq0, z\neq0. Assim podemos dividir por x,y,z quando conveniente. Isso simplifica muito as equações.

Passo 5

Manipulo a equação (2). Como y\neq0, divido ambos os lados por 2y:
1=\lambda x z^{3}.
Portanto
\lambda=\frac{1}{x z^{3}}.\tag{5}
Substituo (5) em (1):
2x=\frac{1}{x z^{3}}\,y^{2} z^{3}=\frac{y^{2}}{x}.
Multiplicando por x:
2x^{2}=y^{2}.
Logo
y^{2}=2x^{2}.\tag{6}
Substituo (5) em (3):
2z=3\cdot\frac{1}{x z^{3}}\cdot x y^{2} z^{2}=3\frac{y^{2}}{z}.
Multiplico por z:
2z^{2}=3y^{2}.
Usando (6) substituo y^{2}:
2z^{2}=3\cdot(2x^{2})=6x^{2},
logo
z^{2}=3x^{2}.\tag{7}

Passo 6

Agora tenho relações de módulos entre as variáveis: \;y^{2}=2x^{2} e \;z^{2}=3x^{2}. Escrevo y^{2} e z^{3} em termos de x e uso a restrição (4). Primeiro calcule z^{3}. Escolhendo a raiz quadrada em (7) e lembrando que o sinal pode aparecer, escrevo z=\sigma_x\sqrt{3}\,x, onde \sigma_x=\pm1 indica se z tem o mesmo sinal de x ou não; porém vou trabalhar com potências ímpares/pares na restrição para decidir sinais.
Usando (6) e (7) na restrição (4):
x\cdot (2x^{2})\cdot (z^{3})=2.
Mas z^{3}=(z^{2})\cdot z=(3x^{2})\cdot z=3x^{2}z. Substituindo:
x\cdot 2x^{2}\cdot 3x^{2}z=2 \quad\Rightarrow\quad 6 x^{5} z=2.
Como z=\sigma_x\sqrt{3}\,x, substituo:
6 x^{5} (\sigma_x\sqrt{3}\,x)=2 \quad\Rightarrow\quad 6\sigma_x \sqrt{3}\, x^{6}=2.
Mas x^{6}>0, portanto o fator \sigma_x deve ser +1 (se fosse -1 o lado esquerdo seria negativo). Assim \sigma_x=+1 e
6\sqrt{3}\, x^{6}=2.
Isolando x^{6}:
x^{6}=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}.
Escrevendo em potências de 3:
x^{6}=3^{-3/2}.
Tomando raiz sexta (expoente 1/6):
x= \pm 3^{-1/4}.

Passo 7

Com x=\pm 3^{-1/4} obtenho x^{2}=3^{-1/2}. Então por (6) e (7):
y^{2}=2x^{2}=2\cdot 3^{-1/2},\qquad z^{2}=3x^{2}=3\cdot 3^{-1/2}=3^{1/2}.
Tomando raízes:
y=\pm \sqrt{2}\,3^{-1/4},\qquad z= \sqrt{3}\,x.
Observe que o sinal de z ficou preso ao sinal de x (já determinamos \sigma_x=+1 no passo anterior, isto é, z=\sqrt{3}\,x), enquanto o sinal de y é independente (porque apenas y^{2} apareceu nas equações). Portanto os pontos candidatos são
\bigl(x,y,z\bigr)=\bigl(s_1 3^{-1/4},\; s_2 \sqrt{2}\,3^{-1/4},\; s_1 \sqrt{3}\,3^{-1/4}\bigr),
onde s_1=\pm1 e s_2=\pm1 (quatro combinações possíveis).

Passo 8

Verifico rapidamente que essas quatro combinações satisfazem a restrição (a verificação é direta porque a dependência de sinais some quando aparece y^{2} e z^{3} dá um fator s_1 que se anula por s_1^{2}=1 etc.) e portanto são pontos admissíveis.
Calculo a distância mínima (opcional, é útil para confirmar que é mínimo): com x^{2}=3^{-1/2},
d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+2x^{2}+3x^{2}=6x^{2}=6\cdot 3^{-1/2}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.
Logo a distância mínima é \sqrt{2\sqrt{3}}=2^{1/2}3^{1/4}, mas o que o enunciado pediu foram os pontos.

Resposta

\left(3^{-1/4},\;\sqrt{2}\,3^{-1/4},\;\sqrt{3}\,3^{-1/4}\right)
\left(3^{-1/4},\;-\sqrt{2}\,3^{-1/4},\;\sqrt{3}\,3^{-1/4}\right)
\left(-3^{-1/4},\;\sqrt{2}\,3^{-1/4},\;-\sqrt{3}\,3^{-1/4}\right)
\left(-3^{-1/4},\;-\sqrt{2}\,3^{-1/4},\;-\sqrt{3}\,3^{-1/4}\right)