Nitrogênio a uma pressão de 2 atm escoa no interior de um tubo com 40 mm de dîmetro e espessura de parede de
. A superficie externa está exposta a uma corrente de gás na qual a pressiáo parcial do nitrogênio é de
. A difusividade mássica e a solubilidade do nitrogćnio no material do tubo sia 1,8 x
e
, respectivamente. Quando o sistema se encontra a 500 K , qual é a taxa de transferéncia de nitrogènio através da parede do tubo por unidade de comprimento (kmol/s.m)?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Pressão interna do nitrogênio:
. - Pressão parcial externa do nitrogênio:
. - Diâmetro externo/ interno do tubo (usado para raio interno):
. Portanto raio interno . - Espessura da parede:
. Então raio externo . - Difusividade mássica no material:
. - Solubilidade (constante de Henry no sólido):
. - Temperatura dada:
(não é necessária explicitamente para os cálculos, porque já foi dada ).
O que o enunciado pede: - A taxa de transferência de nitrogênio através da parede do tubo por unidade de comprimento, em unidades de
.
Passo 2
Modelo físico e leis a usar (explicadinho):
- O nitrogênio difunde através do material da parede do tubo em regime estacionário (fluxo constante no tempo) e unidimensional na direção radial.
- Para relacionar concentração dissolvida no material à pressão do gás usa-se a lei de Henry (solubilidade): a concentração no sólido na face interfaciária é proporcional à pressão do gás. Em fórmula:
onde
é a concentração do nitrogênio dissolvido no material (
),
é a solubilidade (
) e
a pressão do nitrogênio (
).
- A difusão no meio sólido obedece à lei de Fick. Em coordenadas radiais, para regime estacionário e simetria cilíndrica, ao integrar a equação de conservação obtém-se uma expressão para a vazão molar axial por comprimento unitário.
Passo 3
Derivação da expressão para fluxo radial estacionário (passo a passo):
- Em coordenadas cilíndricas, a área através da qual difunde radialmente por comprimento
é . Para taxa por unidade de comprimento colocamos . - A lei de Fick no radial em regime estacionário dá, para a vazão molar total
(em ):
- Como
é constante com em regime estacionário, separamos variáveis e integramos entre as superfícies e (onde as concentrações são e ):
- Integrando:
- Rearranjando para obter a vazão por unidade de comprimento (colocando
por comprimento unitário, unidade ):
Aqui:
-
é a vazão molar de nitrogênio por comprimento unitário ( ). -
e são as concentrações dissolvidas nas faces interna e externa do tubo ( ). -
e são os raios interno e externo ( ).
Observação sobre método: poderia-se usar a aproximação de placa plana (área
e gradiente
), que é mais simples; porém a solução cilíndrica exata acima é tão simples quanto e é mais correta geometricamente. Para este caso, como a parede é fina, os dois métodos dão números muito próximos (vou fazer uma checagem no final).
Passo 4
Calcular as concentrações nas superfícies usando a lei de Henry:
Diferença:
Passo 5
Valores geométricos:
Calcular o logaritmo:
Passo 6
Substituir tudo na fórmula cilíndrica:
Agora os números:
Calculemos em etapas:
Dividindo pelo logaritmo:
Passo 7
Checagem rápida pela aproximação de placa plana (controle):
- Fluxo por área (densidade de fluxo) aproximada:
- Área por unidade de comprimento usada na aproximação:
. - Assim
.
Resultado muito próximo do valor exato cilíndrico (), o que confirma que o cálculo está consistente.
Passo 8
Interpretação final e ânimo:
- A vazão é bastante pequena (ordem
), o que faz sentido: a difusividade no sólido é muito baixa e a espessura, embora fina, ainda limita o transporte. - Está certinho — e deu quase o mesmo pela aproximação plana, então não há surpresa numérica.
- Força aí — esse tipo de conta costuma aparecer em prova; decorando a fórmula cilíndrica e sabendo aplicar Henry + Fick, resolve rapidinho.