Um pequeno aquecedor elétrico de imersão é usado para aquecer 100 g de água para uma xícara de café instantâneo. O aquecedor tem a especificação de 200 W (ele converte energia elétrica em energia térmica com essa taxa). Calcule o tempo necessário para levar toda esta água de 23,0^{\circ} \mathrm{C} para 100,0^{\circ} \mathrm{C} (a) ignorando quaisquer perdas de calor, (b) considerando uma perda de 40 \% de calor.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Massa da água: m = 100\\ \mathrm{g}.
  • Temperatura inicial: T_i = 23,0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_f = 100,0^\circ\mathrm{C}.
  • Potência elétrica do aquecedor: P = 200\\ \mathrm{W} (ou seja, 200\\ \mathrm{J/s}).
  • Perguntas:
    (a) Calcular o tempo necessário para aquecer a água de T_i até T_f ignorando perdas de calor.
    (b) Calcular o tempo considerando uma perda de 40\% do calor (isto é, somente 60\% da potência vai para a água).

Passo 2

Converter unidades e entender a fórmula que vou usar.
  • Converto a massa para quilogramas porque a capacidade calorífica específica usual vem em \mathrm{J/(kg\cdot K)}: m = 100\\ \mathrm{g} = 0,100\\ \mathrm{kg}.
  • A variação de temperatura é \Delta T = T_f - T_i = 100,0^\circ\mathrm{C} - 23,0^\circ\mathrm{C} = 77,0\\ \mathrm{K}.(Note que em Celsius a diferença numérica em kelvins é a mesma.)
  • Para aquecer a água uso a fórmula da quantidade de calor necessária: Q = m\,c\,\Delta T,onde Q é a energia térmica necessária (em joules), m é a massa (em kg), c é a capacidade térmica específica da água (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}) e \Delta T é a variação de temperatura (em K). A capacidade térmica específica da água à temperatura ambiente vale aproximadamente c = 4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Calcular a energia necessária Q passo a passo.
  • Primeiro calculo c\,\Delta T: c\,\Delta T = 4186 \times 77,0 = 322\,322\\ \mathrm{J/kg}.
  • Agora multiplico por m: Q = m\,c\,\Delta T = 0,100 \times 322\,322 = 32\,232,2\\ \mathrm{J}.Assim, para aquecer 100\\ \mathrm{g} de água de 23,0^\circ\mathrm{C} até 100,0^\circ\mathrm{C} são necessários Q \approx 32\,232,2\\ \mathrm{J} (ignorando perdas).

Passo 4

Relacionar energia com potência para obter o tempo (caso sem perdas).
  • Definição de potência: potência é a taxa de transferência de energia, ou seja P = \frac{\Delta E}{\Delta t}.Reorganizando para tempo: \Delta t = \frac{\Delta E}{P}.Aqui \Delta E é a energia fornecida útil (no caso sem perdas \Delta E = Q) e P = 200\\ \mathrm{W}.
  • Então o tempo necessário é t_{\text{(sem perdas)}} = \frac{Q}{P} = \frac{32\,232{,}2}{200} = 161{,}161\\ \mathrm{s}.
  • Converter para minutos e segundos: 161{,}161\\ \mathrm{s} = 2\\ \mathrm{min}\\\ 41{,}16\\ \mathrm{s}(pois 2\times60 = 120\\ \mathrm{s} e 161{,}161-120 = 41{,}161\\ \mathrm{s}).

Passo 5

Resolver o caso com perda de 40\% (apenas 60\% da potência é útil).
  • Quando há perda de 40\%, a eficiência (fração da potência que aquece a água) é \eta = 1 - 0{,}40 = 0{,}60.
  • A potência efetiva que aquece a água vale P_{\text{útil}} = \eta P = 0{,}60 \times 200 = 120\\ \mathrm{W}.ú
  • Então o tempo será maior: t_{\text{(40\% perda)}} = \frac{Q}{P_{\text{útil}}} = \frac{32\,232{,}2}{120} = 268{,}602\\ \mathrm{s}.ú
  • Converter para minutos e segundos: 268{,}602\\ \mathrm{s} = 4\\ \mathrm{min}\\\ 28{,}60\\ \mathrm{s}(pois 4\times60 = 240\\ \mathrm{s} e 268{,}602-240 = 28{,}602\\ \mathrm{s}).

Passo 6

Observação prática curta e motivadora: com perdas o tempo aumenta pelo fator 1/\eta. Aqui 1/\eta = 1/0{,}60 \approx 1{,}667, então o aquecimento demora cerca de 66{,}7\% a mais quando há 40\% de perdas — nada absurdo, mas importante considerar em experimentos e na prova 😉

Resposta

(a) t \approx 161{,}2\\ \mathrm{s} \approx 2\\ \mathrm{min}\\\ 41{,}2\\ \mathrm{s}
(b) t \approx 268{,}6\\ \mathrm{s} \approx 4\\ \mathrm{min}\\\ 28{,}6\\ \mathrm{s}