QUESTÃO 1 ( 3,0 pontos): Deseja-se filtrar uma suspensão de barita ( \rho_{\mathrm{s}}=4,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) em água \left(20^{\circ} \mathrm{C}\right), 20 \mathrm{~g} de sólido/litro de água. Experiências de laboratório indicam que; - A torta é incompressível e a realação (massa de torta molhado)/(massa de torta seca) é 1,5; - A resistividade da torta é de 7,5 \times 10^{9} \mathrm{~cm} / \mathrm{g} - A resistência do meio filtrante é 1,2 \times 10^{8} \mathrm{~cm}^{-1}. Para uma produção de 15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de filtrado determinar:
a) ( 1,5 ) Filtro-prensa: O número de quadros de 2 \times 2 \mathrm{ft} (área filtrante efetiva por quadro 10,5 \mathrm{ft}^{2} ) e a espessura dos mesmos para que a filtração se complete em 3 horas. A lavagem da torta é desnecessária. O tempo de desmonte, limpeza e montagem é estimado em 30 min. Queda de pressão 350 kPa .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses números do enunciado).
Dados do enunciado:
  • Densidade do sólido (barita): \rho_{\mathrm{s}} = 4,3\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Concentração de sólidos na suspensão: 20\\ \mathrm{g/L}.
  • A torta é incompressível e a razão (massa torta molhada)/(massa torta seca) é 1,5.
  • Resistividade específica da torta: \alpha = 7,5\times10^{9}\\ \mathrm{cm/g}.
  • Resistência do meio filtrante: R_{m} = 1,2\times10^{8}\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Produção desejada de filtrado: 15\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Tempo de filtração desejado por batelada: 3\\ \mathrm{h}.
  • Tempo de desmonte/limpeza/montagem: 30\\ \mathrm{min}.
  • Queda de pressão disponível: \Delta P = 350\\ \mathrm{kPa}.
  • Quadros de filtro propostos: 2\times2\\ \mathrm{ft} com área filtrante efetiva por quadro =10{,}5\\ \mathrm{ft^{2}}.
O que se pede:
  • Determinar o número de quadros necessários (inteiro) e a espessura (espessura da torta formada) de cada quadro, para que cada ciclo de filtração se complete em 3\\ \mathrm{h} (considerando 30\\ \mathrm{min} para desmontar/limpar/montar), atendendo à produção de 15\\ \mathrm{m^{3}/h} e à queda de pressão dada.
Observação sobre unidade e conversões que vou usar (para manter consistência SI):
  • Vou converter \rho_{\mathrm{s}} para \mathrm{kg/m^{3}}, concentrações para \mathrm{kg/m^{3}}, \alpha para \mathrm{m/kg}, R_{m} para \mathrm{m^{-1}}, área dos quadros para \mathrm{m^{2}}, \Delta P para \mathrm{Pa}, e tempo para segundos. Vou usar a viscosidade da água a 20^\circ\mathrm{C}: \mu = 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 2

Converter os dados para unidades SI e calcular quantidades básicas.
  1. Converter densidade do sólido:
\rho_{\mathrm{s}} = 4{,}3\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 4300\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  1. Concentracão de sólidos:
C = 20\\ \mathrm{g/L} = 20\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
(Verifique: 1\\ \mathrm{g/L}=1\\ \mathrm{kg/m^{3}}.)
  1. Resistividade específica e resistência do meio filtrante:
    Conversões:
1\\ \mathrm{cm/g} = \frac{0{,}01\\ \mathrm{m}}{0{,}001\\ \mathrm{kg}}=10\\ \mathrm{m/kg}, \qquad 1\\ \mathrm{cm^{-1}} = 100\\ \mathrm{m^{-1}}.
Portanto
\alpha = 7{,}5\times10^{9}\\ \mathrm{cm/g} = 7{,}5\times10^{9}\times10\\ \mathrm{m/kg} = 7{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{m/kg},
R_{m} = 1{,}2\times10^{8}\\ \mathrm{cm^{-1}} = 1{,}2\times10^{8}\times100\\ \mathrm{m^{-1}} = 1{,}2\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  1. Área efetiva por quadro:
A_{\text{q}} = 10{,}5\\ \mathrm{ft^{2}}\times0{,}092903\\ \mathrm{m^{2}/ft^{2}} = 0{,}97548\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Produção por ciclo:
  • Produção contínua desejada Q = 15\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Tempo de filtração por batelada t_{f} = 3\\ \mathrm{h} = 10800\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de desmontagem etc t_{d} = 0{,}5\\ \mathrm{h} = 1800\\ \mathrm{s}.
  • Tempo total de ciclo t_{\text{ciclo}} = t_{f}+t_{d} = 3{,}5\\ \mathrm{h} = 12600\\ \mathrm{s}.
Volume de filtrado por ciclo:
V = Q\times t_{\text{ciclo}} = 15\\ \mathrm{m^{3}/h}\times3{,}5\\ \mathrm{h} = 52{,}5\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Viscosidade da água:
\mu = 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  1. Queda de pressão:
\Delta P = 350\\ \mathrm{kPa} = 350000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Determinar massa de sólidos por ciclo e volume total de torta (para achar a espessura depois).
  1. Massa de sólidos por ciclo:
M_{s} = C\cdot V = 20\\ \mathrm{kg/m^{3}}\times52{,}5\\ \mathrm{m^{3}} = 1050\\ \mathrm{kg}.
  1. Massa da torta molhada (razão dada =1{,}5):
M_{\text{torta, molhada}} = 1{,}5\\ M_{s} = 1{,}5\times1050 = 1575\\ \mathrm{kg}.
Logo massa de água retida na torta:
M_{\text{água retida}} = 1575 - 1050 = 525\\ \mathrm{kg}.á
  1. Volume ocupado pelos sólidos:
V_{\mathrm{s}} = \frac{M_{s}}{\rho_{\mathrm{s}}} = \frac{1050}{4300}\\ \mathrm{m^{3}} \approx 0{,}24419\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Volume de água retida (densidade da água =1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
V_{\ell} = \frac{525}{1000}\\ \mathrm{m^{3}} = 0{,}525\\ \mathrm{m^{3}}.
  1. Volume total da torta:
V_{\text{torta}} = V_{\mathrm{s}} + V_{\ell} \approx 0{,}24419 + 0{,}525 = 0{,}76919\\ \mathrm{m^{3}}.
Esse é o volume de torta que se formará a cada ciclo e que ocupará a área total de filtragem A multiplicada pela espessura média e:
e = \frac{V_{\text{torta}}}{A}.
Mas ainda precisamos de A, que vem da equação de filtração (próximo passo).

Passo 4

Apresentar e deduzir a equação de filtração constante de pressão que usaremos (explicando cada termo de forma didática).
Para filtração por pressão constante, integrando Darcy através do meio filtrante + torta, obtém-se a relação entre o tempo t para filtrar um volume V (por um conjunto de área total A) e as resistências:
A forma integrada é
t = \frac{\mu\,R_{m}\,V}{A\,\Delta P} + \frac{\mu\,\alpha\,C\,V^{2}}{2\,A^{2}\,\Delta P}.
Explicando cada termo/variável:
  • t é o tempo de filtração (s).
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s).
  • R_{m} é a resistência do meio filtrante (m^{-1}).
  • \alpha é a resistividade específica da torta (m/kg).
  • C é a concentração de sólidos na suspensão (kg/m^{3}).
  • V é o volume filtrado por ciclo (m^{3}).
  • A é a área de filtração total (m^{2}).
  • \Delta P é a queda de pressão aplicada (Pa).
Interpretação física:
  • O primeiro termo \dfrac{\mu R_{m} V}{A\Delta P} representa a contribuição do meio filtrante (tela/média filtrante) à resistência ao fluxo (proporcional a V).
  • O segundo termo \dfrac{\mu\alpha C V^{2}}{2 A^{2}\Delta P} é a contribuição da torta (cresce com V^{2} porque à medida que mais filtrado passa, mais torta se forma e aumenta a resistência).

Passo 5

Reescrever a equação acima com os números conhecidos e manipular para encontrar A.
Temos t = 10800\\ \mathrm{s} e V = 52{,}5\\ \mathrm{m^{3}}. Substituindo, obtemos uma equação em A:
10800 = \frac{\mu R_{m} V}{A \Delta P} + \frac{\mu \alpha C V^{2}}{2 A^{2} \Delta P}.
Multiplicando ambos os lados por A^{2} obtemos um polinômio quadrático em A:
10800\,A^{2} - \left(\frac{\mu R_{m} V}{\Delta P}\right) A - \left(\frac{\mu \alpha C V^{2}}{2\Delta P}\right) = 0.
Definindo para facilitar:
B = \frac{\mu R_{m} V}{\Delta P},\qquad C_{0} = \frac{\mu \alpha C V^{2}}{2\Delta P},
temos
10800\,A^{2} - B\,A - C_{0} = 0.
Agora calculamos B e C_{0} numericamente.
Cálculo de B:
B = \frac{(1{,}002\times10^{-3})(1{,}2\times10^{10})(52{,}5)}{350000}
\Rightarrow B \approx 1803{,}6.
Cálculo de C_{0}:
C_{0} = \frac{(1{,}002\times10^{-3})(7{,}5\times10^{10})(20)(52{,}5)^{2}}{2\cdot350000}
\Rightarrow C_{0} \approx 5{,}9205\times10^{6}.
Portanto a equação quadrática é
10800\,A^{2} - 1803{,}6\,A - 5{,}9205\times10^{6} = 0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática para A (escolher a raiz positiva) e interpretar o resultado.
Resolvendo a quadrática:
A = \frac{B + \sqrt{B^{2} + 4\cdot10800\cdot C_{0}}}{2\cdot10800}.
Calcule o discriminante:
\Delta = B^{2} + 4\cdot10800\cdot C_{0} \approx 2{,}5568\times10^{11},
\sqrt{\Delta} \approx 5{,}0566\times10^{5}.
Logo
A \approx \frac{1803{,}6 + 5{,}0566\times10^{5}}{21600} \approx 23{,}49\\ \mathrm{m^{2}}.
Interpretação prática: essa é a área total necessária para que o tempo de filtração seja 3\\ \mathrm{h}. Para garantir que a filtração se complete em no máximo 3\\ \mathrm{h}, devemos adotar uma área igual ou maior que esse valor.

Passo 7

Determinar o número inteiro de quadros e a espessura da torta por quadro.
Número de quadros (arredondar para cima para garantir tempo não maior que 3\\ \mathrm{h}):
n = \left\lceil\frac{A}{A_{\text{q}}}\right\rceil = \left\lceil\frac{23{,}49}{0{,}97548}\right\rceil = \left\lceil24{,}088\right\rceil = 25\\ \text{quadros}.
(A razão de arredondar para cima é que, com menos quadros, a área total seria menor que a necessária e o tempo de filtração excederia 3\\ \mathrm{h}.)
Área efetiva adotada com 25 quadros:
A_{\text{adotada}} = 25\times0{,}97548 = 24{,}387\\ \mathrm{m^{2}}.
Espessura média da torta por quadro:
e = \frac{V_{\text{torta}}}{A_{\text{adotada}}} = \frac{0{,}76919}{24{,}387}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}03155\\ \mathrm{m} = 31{,}55\\ \mathrm{mm}.
Arredondando de forma prática: espessura aproximadamente 32\\ \mathrm{mm} (mas vou apresentar o valor com mais dígitos abaixo).

Resposta

n = 25\\ \text{quadros}
\text{Espessura média da torta} = 0{,}0316\\ \mathrm{m}\approx31{,}6\\ \mathrm{mm}é

Exercícios relacionados