Seja um problema de deformações no plano , no qual é definido o campo de deslocamento . Seja, também, um filamento material genérico , muito pequeno, com início no ponto material P (cujas coordenadas são x1, x2) e término no ponto Q (de coordenadas x1+de). Para esse problema:
a) Obtenha o vetor diferença de deslocamentos desses dois pontos (denotado de) utilizando o conceito de expansão em série de Taylor. Rascunhe graficamente a resposta;
b) caracterize a matriz gradiente de deslocamentos (aqui denotada nabla u) explicando porque possui esse nome;
c) decomponha a matriz gradiente de deslocamentos em suas parcelas simétrica (denotada nabla^S u) e antissimétrica (denotada nabla^A S u).
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Estamos lidando com um problema de deformações no plano . A gente tem um campo de deslocamento e um filamento material bem pequeno, que vai do ponto ao ponto . As coordenadas de são e as de são . Nosso objetivo é:
a) Encontrar o vetor diferença de deslocamentos usando a expansão em série de Taylor e fazer um rascunho gráfico.
b) Caracterizar a matriz gradiente de deslocamentos e explicar por que ela tem esse nome.
c) Decompor a matriz gradiente de deslocamentos em suas partes simétrica e antissimétrica .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor, gradientes e decomposição de matrizes.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Encontrar o vetor diferença de deslocamentos u(Q) approx u(P) + nabla u cdot de.
Primeiro, o que é o vetor diferença de deslocamentos? É basicamente a diferença entre os deslocamentos nos pontos de e , ou seja, .
Para calcular isso, usamos a expansão em série de Taylor. Isso nos permite aproximar o deslocamento no ponto com base no deslocamento no ponto e nas variações pequenas e .
A expansão de Taylor para em torno de fica:
Onde é a matriz gradiente e .
Então, a diferença de deslocamentos fica:
Vamos rascunhar isso graficamente. Imagine o ponto com deslocamento e o ponto com deslocamento . A diferença é o vetor que liga a .
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): Caracterizar a matriz gradiente de deslocamentos nabla u = partial u1partial x1 & partial u1partial x2 partial u2partial x1 & partial u2partial x2 .
A matriz gradiente de deslocamentos é uma matriz que contém todas as derivadas parciais dos componentes do vetor deslocamento . Se , então:
Por que ela se chama “gradiente”? Porque ela representa como o vetor deslocamento muda em cada direção e . Cada elemento da matriz mostra a taxa de variação de um componente do deslocamento em relação a uma coordenada espacial. Isso nos dá uma visão completa de como o material está deformando no entorno do ponto .
Passo 4
Finalmente, vamos para a parte c): Decompor a matriz gradiente de deslocamentos em suas partes simétrica nabla u = nabla^S u + nabla^AS u e antissimétrica nabla^S u = 12 ( nabla u + (nabla u)^T ) .
Primeiro, uma matriz simétrica é aquela onde nabla^AS u = 12 ( nabla u - (nabla u)^T ) , ou seja, . Uma matriz antissimétrica tem , ou seja, .
A decomposição é dada por:
Onde:
Por que fazemos isso? Porque a parte simétrica está relacionada à deformação pura do material (como esticar ou comprimir), enquanto a parte antissimétrica está relacionada à rotação do material.
Resposta
a) O vetor diferença de deslocamentos é aproximadamente , onde . Graficamente, liga os pontos deslocados e .
b) A matriz gradiente de deslocamentos contém todas as derivadas parciais dos componentes de em relação a e . Ela se chama gradiente porque descreve como o deslocamento varia em cada direção espacial.
c) A matriz gradiente pode ser decomposta em uma parte simétrica e uma parte antissimétrica . A parte simétrica está relacionada à deformação do material, enquanto a antissimétrica está relacionada à rotação.