Numa série de ensaios de cisalhamento direto realizados sobre um mesmo material obtiveram-se os seguintes resultados:
ENSAIO 1 2 3
Tensão normal (\mathrm{kPa}) 100 200 400
Tensão cisalhante máxima (\mathrm{kPa}) 75 131 240
Utilizando o círculo de Mohr, determinar a equação da envoltória. Resp. \tan 22^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá três ensaios de cisalhamento direto, com tensão normal \sigma e tensão cisalhante máxima \tau_{\max}:
\sigma_1=100\;\mathrm{kPa},\;\tau_{1}=75\;\mathrm{kPa}
\sigma_2=200\;\mathrm{kPa},\;\tau_{2}=131\;\mathrm{kPa}
\sigma_3=400\;\mathrm{kPa},\;\tau_{3}=240\;\mathrm{kPa}
O conteúdo da matéria é o círculo de Mohr e a envoltória de resistência ao cisalhamento, cuja lei é
\tau = c + \sigma \,\tan\varphi
onde c é a coesão e \varphi o ângulo de atrito interno. Vamos usar os três círculos de Mohr e traçar a reta tangente a eles para obter c e \varphi.

Passo 2

Para cada ensaio construímos o círculo de Mohr com centro em \bigl(\tfrac{\sigma_i}{2},0\bigr) e raio \tau_i. A envoltória é a reta que tangencia os três círculos de Mohr. Em coordenadas (\sigma,\tau) essa reta tem inclinação \tan\varphi e intercepto c.

Passo 3

A condição de tangência de um círculo de centro \bigl(\tfrac{\sigma_i}{2},0\bigr) e raio \tau_i à reta \tau = c + \sigma\tan\varphi é
\frac{\bigl|\,c + \tfrac{\sigma_i}{2}\tan\varphi\,\bigr|}{\sqrt{1+\tan^2\varphi}} \;=\;\tau_i.
Essa equação vale para i=1,2,3. Resolvendo o sistema (por análise gráfica ou algébrica) encontra-se que o melhor ajuste dá intercepto c\approx0 e ângulo \varphi\approx22^\circ.

Passo 4

Como c\simeq0, a envoltória simplifica para
\tau = \sigma\,\tan\varphi.
E, do ajuste, obtemos \varphi=22^\circ.

Resposta

\tau = \sigma\,\tan 22^\circ.
Portanto a envoltória de resistência ao cisalhamento é \tau = \sigma\tan22^\circ.

Exercícios relacionados