Calcular as deflexões nos pontos e da viga em balanço representada na figura.
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Precisamos determinar a deflexão dos pontos e . Mas, para isto, precisamos determinar a linha elástica para uma viga submetida a um carregamento uniforme apenas na metade esquerda do vão.
Esta questão será um pouco trabalhosa, pois precisamos determinar as equações da linha elástica para ambas as metades das vigas. Depois, devemos aplicar as condições de contorno para enfim conseguir a resposta da questão.
Para que a gente consiga resolver a questão, vamos ter que obter o momento fletor para ambas as seções da viga. Sendo assim, vamos começar desenhando o diagrama de corpo livre da viga. Logo,
Percebam que substituímos o engastamento por forças que nele atuam. Então, se a gente aplica as equações de equilíbrio, teremos:
OBS: percebam que o carregamento foi substituído por uma força pontual (que equivale a todo o carregamento) no centroide da distribuição do carregamento.
Passo 2
Agora precisamos determinar as equações para o momento fletor da viga. Para isto, temos que fazer cortes na seção 1 (metade esquerda) e seção 2 (metade direita). Portanto, teremos os seguintes diagramas:
Sendo e para as seções 1 e 2, respectivamente. Novamente, percebam que o carregamento distribuído foi substituído por uma carga pontual no centroide da distribuição!
Bom, como queremos o momento fletor para ambas as seções, basta analisarmos o somatório de momentos em torno do corte! Logo,
E assim finalizamos a primeira parte da questão.
Passo 3
Agora que a gente já conhece o momento fletor, vamos ter que fazer integrações sucessivas para cada uma das seções.
Vamos começar pela seção 1. Através da relação da linha elástica com momento fletor, temos:
Integrando-a, temos:
Agora nós precisamos aplicar as condições de contorno. Para uma viga engastada temos . Portanto, aplicando essas condições de contorno, chegamos a e .
Sendo assim, a equação da linha elástica para a primeira seção será:
Passo 4
Vamos repetir o mesmo procedimento do Passo 3, só que para a seção 2. Através da relação da linha elástica com momento fletor, temos:
Integrando-a, temos:
Agora nós precisamos aplicar as condições de contorno. Mas quais são as condições???
É aqui que entra a sacada da questão! As condições de contorno para a seção 2 é em (divisão entre seção 1 e seção 2). A gente obtém esses valores através da equação da linha elástica da seção 1 (que obtivemos no Passo 3).
Logo, as nossas condições de contorno são:
OBS: Acabamos de determinar a deflexão do ponto , que é igual a
Portanto, ao resolvermos o sistema acima nós botemos e . Logo, a equação da linha elástica para a seção 2 é:
Então, se calcularmos , teremos:
E assim finalizamos a questão!