Deduzir a equação da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, carregada com um conjunto , na extremidade (ver a figura). Calcular a deflexão máxima da viga.
Passo 1
Pessoal, nada de novo no horizonte. O problema pede a equação da linha elástica e a inclinação em , . Para tal a gente vai precisar da nossa equaçãozinha:
E como na maior parte das vezes vamos calcular o momento fletor na viga!
Passo 2
Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.
Pelas equações da estática vamos ter:
Como só temos um momento agindo aí, vamos ter que:
Para as forças em :
Para o momento sendo aplicado em e considerando positivo o sentido horário vamos ter:
Da equação em a gente pode achar que:
Passo 3
Com as forças vamos poder achar o momento fletor.
Como só temos uma seção, vamos ter:
Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!
Passo 4
Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:
Substituindo :
Agora vamos integrar em :
Integrando novamente vamos ter:
Agora temos de utilizar as condições de contorno para obter e .
Passo 5
Lembrando que as condições são as seguintes:
Ao aplicar essas condições no pino () vamos ter um :
Logo,
Portanto a equação fica da forma:
Agora vamos aplicar na rótula em onde , nesse ponto a deflexão também é zero, logo:
Então a equação da linha elástica é igual a:
Passo 6
Para achar a inclinação máxima, vamos pegar a derivada de ...
Dar uma ajeitadinha...
E igualar à zero, resolvendo-a...
Chegamos ao seguinte resultado...
Como a barra não pode ser maior que , então...
Sendo assim, a deflexão máxima será de...