Deduzir a equação da linha elástica para uma viga simplesmente apoiada, carregada com um conjunto M 0 , na extremidade (ver a figura). Calcular a deflexão máxima da viga.

Passo 1

Pessoal, nada de novo no horizonte. O problema pede a equação da linha elástica y e a inclinação em A , θ = d y / d x . Para tal a gente vai precisar da nossa equaçãozinha:

d 2 y d x 2 = M E I

E como na maior parte das vezes vamos calcular o momento fletor na viga!

Passo 2

Para achar o momento fletor primeiro precisamos achar as forças nos apoios, para isso vamos desenhar um esquema de forças.

Pelas equações da estática vamos ter:

∑ F x

∑ F y

∑ M

Como só temos um momento agindo aí, vamos ter que:

Para as forças em y :

∑ F y = 0

R 1 + R 2 = 0

R 1 = - R 2

Para o momento sendo aplicado em A e considerando positivo o sentido horário vamos ter:

∑ M A = 0

- R 2 L + M 0 = 0

R 2 = M 0 L

Da equação em y a gente pode achar que:

R 1 = - M 0 L

Passo 3

Com as forças vamos poder achar o momento fletor.

Como só temos uma seção, vamos ter:

∑ M = 0

M 0 + R 1 x + M = 0

M = - M 0 - R 1 x

M = - M 0 + M 0 L x

Uhulll achamos o momento!! Agora vamos achar a linha elástica!!

Passo 4

Para achar a linha elástica a gente só precisa daquela equação com uma derivada de segunda ordem:

d 2 y d x 2 = M E I

Substituindo M :

d 2 y d x 2 = - M 0 + M 0 L x E I

Agora vamos integrar em x :

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - M 0 + M 0 L x E I   d x

d y d x = 1 E I - M 0 x + M 0 x 2 2 L + C 1

Integrando novamente vamos ter:

∫ d y d x   d x = ∫ 1 E I - M 0 x + M 0 x 2 2 L + C 1   d x

y = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

Agora temos de utilizar as condições de contorno para obter C 1 e C 2 .

Passo 5

Lembrando que as condições são as seguintes:

Ao aplicar essas condições no pino ( x = 0 ) vamos ter um y = 0 :

0 = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 x 2 2 + C 1 x + C 2

Logo,

C 2 = 0

Portanto a equação fica da forma:

y = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 x 2 2 + C 1 x

Agora vamos aplicar na rótula em B onde x = L , nesse ponto a deflexão também é zero, logo:

0 = 1 E I M 0 L 3 6 L - M 0 L 2 2 + C 1 L

M 0 L 2 6 - M 0 L 2 2 + C 1 L = 0

C 1 = M 0 L 2 3 L

C 1 = M 0 L 3

Então a equação da linha elástica é igual a:

y = 1 E I M 0 x 3 6 L - M 0 x 2 2 + M 0 L 3 x

y = M 0 E I x 3 6 L - x 2 2 + L 3 x

Passo 6

Para achar a inclinação máxima, vamos pegar a derivada de y ...

d y d x = M 0 E I - x + x 2 2 L + L 3

Dar uma ajeitadinha...

d y d x = M 0 E I L 2 - x L 2 + x 2 L 2 + L 3 3

E igualar à zero, resolvendo-a...

x 2 L 2 - x L 2 + L 3 3 = 0

x = L 2 ± L 4 - 4 ⋅ L 2 ⋅ L 3 3 2 L 2

x = L 2 ± L 4 - 4 6 L 4 2 L 2

x = L 2 ± 3 3 L 2 L

Chegamos ao seguinte resultado...

x = L ± L 3 3

Como a barra não pode ser maior que L , então...

x = L - L 3 3

x = 0,42 L

Sendo assim, a deflexão máxima será de...

y = M 0 E I x 3 6 L - x 2 2 + L 3 x

y = M 0 E I ( 0,42 L ) 3 6 L - 0,42 L 2 2 + L 3 ⋅ 0,42 L

y = 0,064 M 0 L 2 E I

Resposta

y = M 0 E I x 3 6 L - x 2 2 + L 3 x

y = 0,064 M 0 L 2 E I

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