A força de uma viga simplesmente apoiada consiste em n forças concentradas, igualmente espaçadas. A carga total aplicada é P e, portanto, cada força é igual a P / n . O comprimento da viga é L e o espaçamento entre cargas é L / ( n + 1 ) , ( a ) Deduzir uma fórmula geral para o momento fletor máximo na viga, ( b ) A partir da fórmula, determinar o momento fletor máximo para vários valores sucessivos de n n = 1,2 , 3,4 … . ( c ) Comparar estes resultados com o momento fletor máximo na viga devido a uma carga uniforme distribuida, de itensidade q , de maneira que q L = P .

Passo 1

Bom galera, Vamos começar com o equilíbrio de forças:

∑ F y = 0

R 1 + R 2 - P n ⋅ n = 0

R 1 + R 2 = P

Agora vamos pra o momento, usando A como eixo de rotação:

∑ M A = 0

P n L n + 1 + P n 2 L n + 1 … + P n n L n + 1 - R 2 L = 0

R 2 L = P n 1 + 2 + 3 … + n L n + 1

E você lembra da foruma do somatório de uma PA, é essa:

S n = a 1 + a n ⋅ n 2

Com isso podemos ficar com:

R 2 L = P n ( 1 + n ) n 2 L n + 1

R 2 L = P L 2

R 2 = P 2

Logo:

R 1 = P 2

Passo 2

Belezinha, a gente sabe que nesses casos o momento fletor máximo ocorre na carga mais central, então no caso de n ser par, encontraremos na carga:

n 2

No caso de ser impa, a carga mais central será:

n + 1 2

Precisamos calcular o momento fletor no ponto dessa carga, vamos lá:

M i m p a r = P 2 L 2 - P n L 2 - 1 L n - P n L 2 - 2 L n … - P n L 2 - n - 1 2 L n

M i m p a r = P 2 L 2 - P n L 2 n - 1 2 + P n 1 + 2 … + n - 1 2

M i m p a r = P L 4 - P n L 2 n - 1 2 + P n 1 + n - 1 2 n - 1 2 2

Seguindo isso chegaremos a:

M i m p a r = P L n + 1 8 n

E quando for par:

M p a r = P 2 L ( n - 1 ) 2 n - P n L ( n - 1 ) 2 n - 1 L n - P n L ( n - 1 ) 2 n - 2 L n … - P n L ( n - 1 ) 2 n - n 2 L n

Resolvendo teremos:

M p a r = P L n + 2 8 n + 1

Passo 3

Agora vamos resolver para alguns valores para testar:

( b )

M i m p a r = P L n + 1 8 n

n = 1 → 2 P L 8

n = 2 → 3 P L 16

n = 3 → 4 P L 24

...

M p a r = P L n + 2 8 n + 1

n = 1 → 3 P L 16

n = 2 → 4 P L 24

n = 3 → 5 P L 32

...

Passo 4

Por fim, vamos comparar com o momento fletor de uma carga distribuída, o momento fletor no meio da viga de uma carga distribuída seria:

M = R 1 ⋅ L 2 - q ⋅ L 2 L 4

M = P L 4 - q L 2 8

A questão nos mandou considerar q L = P , então vamos:

M = P L 4 - q L ⋅ L 8

M = P L 4 - P ⋅ L 8

M = 2 P L - P L 8

M = P L 8

O que a gente nota é que se n tende a infinito as duas equações se correspondem.

Resposta

( a )

M x i m p a r = P L n + 1 8 n

M x p a r = P L n + 2 8 n + 1

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