Qual o momento fletor máximo, M m á x , que cada uma das seções retas mostradas na figura pode suportar, caso a tensão admissível (tração ou compressão) seja σ a d m

Passo 1

Nosso objetivo principal é determinar momento fletor máximo, M m á x , que cada uma das seções retas mostradas na figura do enunciado pode suportar

Pois muito bem! Sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ = M F l y I z z

Onde...

  • M F l é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção mais distante possível do centroide. Isso na caso da tensão admissível.
  • I z z é o momento de inércia da área da seção

Lembrando que dependendo dos sinais de M F l e de y , a tensão σ pode assumir valores positivos ou negativos, de tração ou de compressão.

Passo 2

Agora, como o que queremos é saber o M F l de cada elemento e a questão nos deu o σ a d m , então precisamos descobrir para cada componente o seu momento de inércia e valor y .

Para a primeira figura, que é um triângulo equilátero, o momento de inércia é dado por...

I z z = b h 3 36

Como...

h = b 3 2

Então...

I z z = b h 3 36

I z z = b ⋅ b 3 2 3 36

I z z = 3 3 b 4 288

I z z = 3 3 b 4 288

E como o centroide é 1 / 3 da altura, então a posição máxima y que nos garante o σ a d m é dada por...

y = h - h 3 = b 3 2 - b 3 6 = b 3 3

Logo, o momento fletor máximo será de...

M F l = σ a d m I z z y

M F l = σ a d m ⋅ 3 3 b 4 288 b 3 3

M F l = σ a d m ⋅ 3 b 4 288 b 3

M F l = 6 σ a d m ⋅ 9 b 3 288

M F l = σ a d m

M F l = σ a d m b 3 32

Passo 3

Para a segunda figura, que é um trapézio, conforme a nossa bibliografia...

O momento de inércia vai ser dado por...

I z z = h 3 b 2 + 4 ⋅ 2 b ⋅ b + 2 b 2 36 ( 2 b + b )

I z z = 13 b 2 h 3 108 b

Quanto a valor do centroide, este vai ser dado por...

y - = h 2 ⋅ b + 2 b 3 ( 2 b + b )

y - = 4 b h 9 b

y - = 4 h 9

Logo, a posição máxima y que nos garante o σ a d m é dada por...

y = h - 4 h 9 = 5 h 9

Logo, o momento fletor máximo será de...

M F l = σ a d m I z z y

M F l = σ a d m ⋅ 13 b 2 h 2 108 b 5 9

M F l = σ a d m ⋅ 9 5 ⋅ 13 b 2 h 2 108 b

M F l = 13 σ a d m b h 2 60

Passo 4

Por último, para a terceira figura, que é um circulo vazado... Conforme a nossa bibliografia...

O momento de inércia vai ser dado por...

I z z = π [ 2 d 4 - d 4 ] 64

I z z = 15 π d 4 64

E a posição y que nos garante o σ a d m é dada por...

y = d

Logo, o momento fletor máximo será de...

M F l = σ a d m I z z y

M F l = σ a d m ⋅ 15 π d 4 64 d

M F l = σ a d m ⋅ 15 π d 4 64 d

M F l = 15 σ a d m π d 3 64 d

Resposta

P a r a   o   t r i â n g u l o ⇒ M F l = σ a d m b 3 32

P a r a   o   t r a p é z i o ⇒ M F l = 13 σ a d m b h 2 60

P a r a   o   e i x o   c i r c u l a r ⇒ M F l = 15 σ a d m π d 3 64 d

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