Enunciado

Um peso P = 500   k g f cai de uma altura h = 1,0   m sobre um poste de 6,0   m de comprimento e 30 cm de diâmetro, que se admite fixado pela extremidade inferior. Calcular a tensão de compressão máxima, σ , no poste, sendo E = 1050   k g f / m m 2 . (Desprezar o peso do poste e a energia perdida durante o choque, supor, também que δ e s t é pequeno comparado com h ).

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta questão é muito semelhante a questão 1.10-7 e também a questão do tópico de cargas de impacto sobre barras discutido na seção 1.10 do livro.

Temos um peso P é solto e cai de uma altura h (esta é a única diferença da questão anterior), até entrar em contato com um poste fixo, causando assim uma deformação δ no poste.

Podemos igualar a energia de deformação do poste com o trabalho do peso P (peso vezes distância), através da seguinte relação:

P h + δ = E A δ 2 2 L

δ 2 - 2 P L E A δ - 2 P L E A h = 0

Se chamarmos a deformação estática do poste devido ao peso P de δ e s t = P L E A , teremos:

δ 2 - 2 δ e s t δ - 2 δ e s t h = 0

Passo 2

Agora que chegamos a uma equação para obtenção da deformação, vamos resolvê-la. Desta forma, temos:

δ = 2 δ e s t ± 2 δ e s t 2 + 4 ⋅ 2 δ e s t h 2

δ = δ e s t ± δ e s t 2 + 2 h δ e s t

Como a deformação δ deve ser positiva, então, a única solução possível da equação é:

δ = δ e s t + δ e s t 2 + 2 h δ e s t

Assumindo que o comprimento L é muito maior que a deformação δ e s t (enunciado da questão), podemos aproximar a nossa deformação por:

δ ≈ 2 h δ e s t = 2 P h L E A

Passo 3

Agora que determinamos a deformação da barra, vamos calcular a tensão nela. Para isto, basta lembrarmos que:

σ = E ϵ = E δ L

σ = E 2 P h L E A L

σ = 2 P E h L A

Substituindo os valores, temos:

σ = 2 ⋅ 500 ⋅ 1050 ⋅ 1 6 ⋅ π ⋅ 300 2 4 = 1,57   k g f / m m 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

σ = 1,57   k g f / m m 2

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