Para a viga representada na figura, calcular a deflexão δ b na extremidade livre. k é uma constante de proporcionalidade. Sob que condições a viga será estável?

Passo 1

Pessoal esse problema é muito parecido com o anteior e a gente tem que achar a linha elástica também. Para isso, como sabemos, precisamos achar primeiro o momento fletor M antes e aplicar na equação da linha elástica:

d 2 y d x 2 = M E I

O que vai mudar aqui vai ser a forma de calcular o momento fletor, vamos fazer isso por meio de integral!

Lembrando que temos de utilizar as condições de contorno dadas por aquela nossa tabelinha:

Passo 2

Galera, vocês devem lembrar que a força cortante é a derivada do momento fletor. Se não lembravam agora vocês sabem

Além disso, a carga distribuída q é a derivada da força cortante. Então a gente tem o seguinte olha só:

V = d M d x

q = - d V d x

Esse sinal de menos é muito importante ok? Não podemos esquecer! Ele aparece porque a cortante tem o sentido oposto do carregamento.

Então, a gente pode falar que:

q = - d 2 M d x 2

Né? É só derivar o momento fletor duas vezes que vamos ter a carga.

Mas pessoal a equação da linha elástica não é dada por:

d 2 y d x 2 = M E I

Então a gente pode derivar duas vezes e vamos ter:

d 4 y d x 4 = 1 E I d 2 M d x 2

Agora podemos substituir o termod a direita pelo carregamento e obter:

d 4 y d x 4 = 1 E I ( - q )

Desta forma podemos achar a linha elástica diretamente do carregamento

d 4 y d x 4 = - q E I

Passo 3

Aplicando esse conceito ao problema vamos ter:

d 4 y d x 4 = - q E I

Podemos reorganizar da forma:

E I d 4 y d x 4 = - q

Aí é só ir derivando rs. A primeira derivada temos:

∫ E I d 4 y d x 4   d x = ∫ - q   d x

E I d 3 y d x = - q x + C 1

Derivando novamente:

∫ E I d 3 y d x   d x = ∫ - q x + C 1   d x

E I d 2 y d x 2 = - q x 2 2 + C 1 x + C 2

Derivando pela terceira vez:

∫ d 2 y d x 2   d x = ∫ - q x 2 2 + C 1 x + C 2   d x

E I d y d x = - q x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3

Derivando pela quarta e última vez:

∫ d y d x   d x = ∫ - q x 3 6 + C 1 x 2 2 + C 2 x + C 3   d x

E I y = - q x 4 24 + C 1 x 3 6 + C 2 x 2 2 + C 3 x + C 4

Agora é “só” achar as quatro constantes rs

Passo 4

Pessoal, para achar essas constantes a gente tem que reparar que cada uma delas, por estar associada a cada etapa de integração, vai estar associada aos termos da força cortante, momento fletor, inclinação e deflexão.

Vamos um pouco mais devagar. Lá na primeira integral a gente tinha:

E I d 3 y d x = - q x + C 1

O termo da esquerda é a primeira integral de q logo é igual à força cortante e podemos escrever:

V = - q x + C 1

Logo se a gente conseguir achar a força cortante em algum ponto da nossa viga vamos poder achar C 1 !

Na extremidade livre não temos força cortante, portanto:

0 = - q L + C 1

C 1 = q L

Tranquilo né?

Passo 5

Agora vamos para a segunda integral, já considerando o valor de C 1 = q L :

E I d 2 y d x 2 = - q x 2 2 + q L x + C 2

Essa integral se refere ao momento fletor e pode ser escrita como:

M = - q x 2 2 + q L x + C 2

Vamos aplicar o mesmo conceito e, ao perceber que também não existe momento fletor na extremidade livre, vamos obter:

0 = - q L 2 2 + q L 2 + C 2

C 2 = q L 2 2

Passo 6

Agora vamos para a terceira integral, já considerando os valores de C 1 e C 2 :

E I d y d x = - q x 3 6 + q L x 2 2 + q L 2 2 x + C 3

Essa integral se refere à inclinação e pode ser escrita como:

E I × θ = - q x 3 6 + q L x 2 2 + q L 2 2 x + C 3

Vamos aplicar o mesmo conceito mas agora temos de utilizar o lado engastado, porque no engaste a inclinação é zero. Temos, portanto:

0 = - q 0 3 6 + q L 0 2 2 + q L 2 2 0 + C 3

C 3 = 0

Passo 7

Agora vamos para a quarta integral, já considerando os valores de C 1 , C 2 e C 3 :

E I y = - q x 4 24 + q L x 3 6 + q L 2 x 2 4 + C 4

Essa integral se refere à linha elásticae pode ser escrita como:

E I y = - q x 4 24 + q L x 3 6 + q L 2 x 2 4 + C 4

Vamos aplicar o mesmo conceito mas agora temos de utilizar o lado engastado, porque no engaste a deflexão também é zero. Temos, portanto:

0 = - q 0 4 24 + q L 0 3 6 + q L 2 0 2 4 + C 4

C 4 = 0

Logo a equação da linha elástica é igual a:

E I y = - q x 4 24 + q L x 3 6 + q L 2 x 2 4

Que pode ser escrita como:

y = q x 2 24 E I - x 2 + 4 L x + 6 L 2

E então, ficamos com...

y = q L 4 8 E I 1 1 - β

Resposta

y = q L 4 8 E I 1 1 - β

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