A viga simplesmente apoiada A C está presa ao cabo que é ajustado, sem carga. O comprimento do cabo é H e a área A . Achar a força de tração F no cabo, quando a temperatura cair de T graus, sabendo que a viga e o cabo são feitos do mesmo material.

Passo 1

O que está acontecendo?

A viga tem:

  • Um comprimento inicial L ;

& vai sofrer uma variação de temperatura Δ T a l = T .

Dessa forma, essas hastes vão sofrer dilatações térmicas δ T que vão ser dadas pela fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Mas essas hastes não podem se dilatar livremente devido a existência da barra rígida B F que elas suportam.

Por causa dessa barra, as hastes têm que se dilatar de tal forma que:

  • O deslocamento do ponto central da barra rígida (igual à variação de comprimento total δ T O T A L a l da haste central de alumínio menos a folga s = 0,7   m m )...
  • ...seja igual ao deslocamento dos pontos laterais da barra rígida (igual à variação de comprimento total δ T O T A L a ç o das hastes laterais de aço).

Ou seja:

δ T O T A L a l - s = δ T O T A L a ç o

Mas a variação de comprimento total de uma haste é a soma entre a dilatação térmica δ T e a variação de comprimento δ causada pelo carregamento na haste.

Dessa forma, a expressão acima pode ser reescrita assim:

δ T a l + δ a l - s = δ T a ç o + δ a ç o

(Essa é a equação de compatibilidade desse sistema!)

E como vai ser o carregamento nas hastes?

Bom...

Como α a l é quase o dobro de α a ç o , podemos imaginar que a haste central C D de alumínio vai se dilatar muito mais que as hastes laterais A B e E F de aço.

Então vamos ter a haste C D empurrando a barra rígida para cima com uma força F C D enquanto que A B e E F puxam a barra para baixo com forças F A B e F E F :

Como uma reação às forças F A B e F E F para baixo, a barra rígida vai puxar as hastes A B e E F para cima com forças de mesma intensidade, tracionando elas.

Já como uma reação à força F C D para cima, a barra rígida vai empurrar a haste C D para baixo com uma força de mesmo intensidade, comprimindo ela.

São essas forças de tração e compressão que vão gerar as variações de comprimento δ a l e δ a ç o devido ao carregamento nas hastes, de acordo com a fórmula:

δ = N L E A

Onde N é a força interna normal em cada haste.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente encontre o valor das forças F A B e F E F .

Para encontrar essas forças, vamos ter que:

  • Aplicar as condições de equilíbrio no diagrama de corpo livre da barra rígida B F que fizemos acima;
  • & desenvolver a equação de compatibilidade que encontramos;

Com isso, vamos ter equações o suficiente relacionando os valores de F A B , F C D e F E F para que a gente possa calcular essas forças! 💃

Passo 2

Então vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre da barra B F ...

...e aplicando as condições de equilíbrio nessa barra!

Temos duas condições disponíveis aqui: o equilíbrio de forças na vertical e o equilíbrio de momentos em relação a um ponto.

Começando pelo equilíbrio de momentos em relação a um ponto, vamos escolher o ponto central C :

∑ M C = 0

Se a gente chamar de x a distância entre o ponto central C e as extremidades B e F , esse somatório de momentos fica assim:

F A B x - F E F x = 0

O que significa que:

F A B = F E F       (Equação 1)

Já para o equilíbrio de forças na vertical, temos:

∑ F V = 0

Fazendo esse somatório, encontramos que:

- F A B + F C D - F E F = 0

Isolando F C D , temos:

F C D = F A B + F E F

Mas como acabamos de encontrar que F A B = F E F , isso significa que:

F C D = 2 F A B       (Equação 2)

Passo 3

Em seguida, vamos desenvolver nossa equação de compatibilidade.

Como vimos no Passo 1, temos que:

δ T a l + δ a l - s = δ T a ç o + δ a ç o

Nessa equação, podemos desenvolver as dilatações térmicas δ T usando a fórmula:

δ T = α * Δ T * L

Aplicando essa fórmula para a barra de alumínio e para as barras de aço, vamos ter que:

δ T a l = α a l Δ T a l L a l

&

δ T a ç o = α a ç o Δ T a ç o L a ç o

E podemos desenvolver as variações de comprimento δ devido ao carregamento nas peças usando a fórmula:

δ = N L E A

No nosso caso, temos que a força interna normal N vai ser:

  • E igual à - F C D para a haste central C D de alumínio que vai estar sob compressão.
  • Igual à F A B = F E F para as hastes laterais de aço que vão estar sob tração;

Então as variações δ para cada material vão ser:

δ a l = - F C D L a l E a l A a l

&

δ a ç o = F A B L a ç o E a ç o A a ç o

Substituindo tuuuudo isso na nossa equação de compatibilidade, ela fica assim:

α a l Δ T a l L a l + - F C D L a l E a l A a l - s = α a ç o Δ T a ç o L a ç o + F A B L a ç o E a ç o A a ç o       (Equação 3)

Eita!

Mas pensa aí... 🤔

Já temos o que precisamos para resolver o exercício:

  • Queremos encontrar o valor da força F A B = F E F ;
  • E já temos duas equações (as equações 2 e 3) que relacionam as forças F A B e F C D , então podemos combinar essas equações para encontrar essas forças!

Passo 4

Então vamos substituir a equação 2 ( F C D = 2 F A B ) na equação 3 que acabamos de encontrar no passo anterior.

Fazendo isso, vamos ter que:

α a l Δ T a l L a l + - 2 F A B L a l E a l A a l - s = α a ç o Δ T a ç o L a ç o + F A B L a ç o E a ç o A a ç o

Com isso, o nosso último objetivo é isolar F A B nessa expressão!

Deixando todos os termos com F A B de um lado e os demais termos do outro, essa expressão fica assim:

α a l Δ T a l L a l - α a ç o Δ T a ç o L a ç o - s = F A B L a ç o E a ç o A a ç o + 2 F A B L a l E a l A a l

Colocando F A B em evidência, temos que:

α a l Δ T a l L a l - α a ç o Δ T a ç o L a ç o - s = F A B L a ç o E a ç o A a ç o + 2 L a l E a l A a l

O que significa que:

F A B = ( α a l Δ T a l L a l - α a ç o Δ T a ç o L a ç o - s ) L a ç o E a ç o A a ç o + 2 L a l E a l A a l

Então o resultado para a força F A B nessa expressão vai ser...

F = 48 E I A H α T A L 3 + 48 I H

Substituindo tudo e calculando F A B , que é igual à F E F , vamos encontrar a nossa resposta:

Resposta

F = 48 E I A H α T A L 3 + 48 I H

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