Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 28
Se , encontre
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é obter a terceira derivada de no ponto .
Parece complicado?
Basicamente temos que calcular a terceira derivada de e a partir do resultado aplicar o ponto .
Para calcular a derivada de temos que aplicar o teorema fundamental do cálculo.
Mas já adianto que como temos que calcular a terceira derivada, em algum momento temos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia...
A regra do produto é dada por
Já a regra da cadeia é dada por
Veja só!
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada de
Pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Perceba que a função que obtemos é um produto de funções, então para calcular a segunda derivada vamos aplicar a regra do produto
Novamente pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos tentar simplificar o termo ...
Se , então
E tambem se , então
Portanto, substituindo e , temos
Podemos reescrever como
Assim, calculando a terceira derivada inicialmente pela regra do produto, temos
Nas derivadas que restaram, vamos ter que aplicar a regra da cadeia pois temos um expoente nas funções trigonométricas...
Considerando a função de dentro como na primeira, temos
Se , então
Show?
Passo 4
Agora na derivada de , fazemos como a função de dentro
Como ...
Substituindo os resultados que obtemos em , temos
Simplificando...
Lembrando que e
Estamos quase lá!
Passo 5
Encontramos a derivada que queríamos, mas ainda falta substituir o ponto .
Nesse ponto, temos
Substituindo esses valores em , vamos obter
Manipulando a equação...
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌