Enunciado

5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.

7. y = cos ⁡ 2 θ

Passo 1

Fala aí, tudo belezinha com você?

Bom, essa questão pede pra gente encontrar as derivadas de primeira e de segunda ordem da função:

y = cos ⁡ 2 θ

Isso significa que teremos que derivar nossa função a primeira vez, anotar o resultado que encontarmos e derivar esse resultado novamente para obter a derivada de segunda ordem. Sacou?!

E para isso precisaremos observar o tipo de função que temos e decidir qual o melhor método para fazer isso.

Aqui temos uma função dentro da outra, então precismos da regra da cadeia:

Quando temos uma função dessa forma:

F x = f g x

Sua derivada fica assim:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.

Maravilha. Agora que já sabemos o que fazer, partiu resolver mais uma questão.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia aqui. Sendo

F x = f g x

Sua derivada fica assim:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso nosso f x é o cosseno e g x é o 2 θ .

A derivada do cosseno é tabelada e ela é igual a - sen ⁡ . Assim, teremos:

y ' = - sen ⁡ 2 θ ⋅ 2

Ajeitando melhor, podemos escrever assim:

y ' = - 2 sen ⁡ 2 θ

Maravilha. Temos nossa derivada de primeira ordem.

Passo 3

E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:

y ' ' = d d θ - 2 sen ⁡ 2 θ

Podemos colocar o - 2 do lado de fora da derivada, já que ele é uma constante.

y ' ' = - 2 d d θ sen ⁡ 2 θ

Para fazer a derivada do seno, precisamos da regra da cadeia novamente. E a derivada do sen ⁡ é cos ⁡ . Assim:

y ' ' = - 2 cos ⁡ 2 θ ⋅ 2

Arrumando melhor, temos:

y ' ' = - 4 cos ⁡ 2 θ

E prontinho. Questão resolvida.

Resposta

y ' ' = - 4 cos ⁡ 2 θ

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