Enunciado

9-26. Determine se a série é convergente ou divergente.

18. ∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n

Passo 1

Para determinarmos se essa série converge ou diverge teremos que utilizar o Teste da Integral, tudo bem?

O Teste da Integral traz que se f x for uma função contínua, positiva e decrescente em [ 1 , ∞ )

e seja a n = f n . Então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente se, e somente se, a integral imprópria for convergente. Em outras palavras:

(i) Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente.

(ii) Se ∫ 1 ∞ f x d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é divergente.

Lembrando que ∫ 1 ∞ f x d x é o que chamamos de Integral Imprópria, que a gente pode simplificar por:

∫ 1 ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f x d x

Passo 2

Temos que:

f x = 3 x - 4 x 2 - 2 x

Para essa função temos que aplicar a integral em um intervalo em que a função seja contínua, positiva e decrescente. No nosso caso isso ocorre em 3 ,   ∞ . Dessa forma, nossa integral será:

∫ 3 ∞ f x d x = ∫ 3 ∞ 3 x - 4 x 2 - 2 x d x

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x ⇒ lim t → ∞ ⁡ ∫ 3 t 3 x - 4 x 2 - 2 x d x

E aí se a integral convergir, então a série também converge. Caso contrário, a série diverge. Então bora lá!

Passo 3

Antes de resolvermos a integral, temos que simplificar o argumento, pois não é possível resolver a integral do jeito em que ela está apresentada! Uma maneira interessante é utilizarmos frações parciais. Para isso, teremos que escrever o denominador como um produto, e isso é bem tranquilão, né? Saca só:

x 2 - 2 x = x ( x - 2 )

3 x - 4 x x - 2 = A x + B x - 2

Fazendo MMC, teremos:

A x - 2 + B x x ( x - 2 ) = 3 x - 4 x x - 2

A + B x - 2 A = 3 x - 4

Fazendo uma análise dos graus e dos coeficientes, teremos:

A + B = 3 - 2 A = - 4

Resolvendo a segunda equação podemos tirar que A = 2 . Substituindo na primeira equação, teremos:

2 + B = 3 ⇒ B = 1

Dessa forma, podemos escrever nossa f ( x ) da seguinte maneira:

A x + B x - 2 = 2 x + 1 x - 2

Passo 4

Ufa! Depois de todo esse trabalho, agora sim vamos resolver essa bendita integral, se liga:

∫ 3 t 2 x + 1 x - 2 d x

Como x está no denominador e tem grau 1, sabemos que o resultado dessa integral terá dois l n , não é mesmo? Dessa forma:

∫ 3 t 2 x + 1 x - 2 d x = 2 ln ⁡ x + ln ⁡ x - 2 t 3

∴ ∫ 3 t 2 x + 1 x - 2 = 2 ln ⁡ t + ln ⁡ t - 2 - 2 ln ⁡ 3

Por fim, aplicando o limite, teremos:

lim n → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ t + ln ⁡ t - 2 - 2 ln ⁡ 3 = ∞

Sendo assim, a conclusão é de que a a série diverge.

Resposta

∑ n = 3 ∞ 3 n - 4 n 2 - 2 n   é   d i v e r g e n t e

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