Enunciado

Calcule o limite, se existir.

lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular o seguinte limite:

lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor 0 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação, veja:

lim h → 0 ⁡ 3 + h - 1 - 3 - 1 h

= ( 3 + 0 ) - 1 - 3 - 1 0 = 0 0

E não sabemos o que valor é esse. Quando é 0 0 ? Como esse valor não está definido, chamamos de indeterminação. E para casos assim, é preciso fazer manipulações para tentar reescrever a função que temos de um modo mais simplificado que evite que essa indeterminação apareça no cálculo do limite.

Vamos analisar a função com calma e descobrir como resolver.

Passo 2

Vamos fazer algumas manipulações na expressão do limite:

lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h

Primeiro vamos colocar as expressões com expoente - 1 como frações. Fazemos isso sempre que tivermos um expoente negativo. Então teremos:

lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h =   lim h → 0 ⁡ 1 3 + h - 1 3 h

Show.

Passo 3

Vamos agora achar um denominador comum da expressão do numerador buscando simplifica-lá. Veja:

1 3 + h - 1 3

Tirando o mmc entre 3 e 3 + h , teremos:

3 - 3 + h 3 3 + h

E resolvendo a parte de cima, ficamos com:

- h 3 ( 3 + h )

Assim, o limite se torna:

lim h → 0 ⁡ 1 3 + h - 1 3 h = lim h → 0 ⁡ - h 3 ( 3 + h ) h

Passo 4

Agora vamos colocar a expressão com apenas um numerador e denominador, fazendo a multiplicação da fração do numerador com o inverso da fração do denominador:

lim h → 0 ⁡ - h 3 3 + h h

= lim h → 0 ⁡ - h 3 3 + h ⋅ 1 h

E simplificando o h , teremos:

lim h → 0 ⁡ - 1 3 ( 3 + h )

E percebemos que agora é possível substituir o valor 0 na expressão e problema resolvido!!

lim h → 0 ⁡ - 1 3 3 + h

= - 1 3 3 + 0 = - 1 9

Resposta

lim h → 0 ⁡ 3 + h - 1 - 3 - 1 h = - 1 9

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