Enunciado

Combine as equações polares com os gráficos com os gráficos I - V I . Dê os motivos das suas escolhas. (Não use ferramentas gráficas.)

  1. r = l n θ       ,   1 ≤ θ ≤ 6 π ;
  2. r = θ 2 ,   0 ≤ θ ≤ 8 π ;
  3. r = c o s 3 θ ;
  4. r = 2 + c o s 3 θ ;
  5. r = cos ⁡ θ 2 ;
  6. r = 2 + cos ⁡ 3 θ 2 .

Passo 1

Fala galerinha!

Para encontrarmos o gráfico correto referente a está função, vamos analisar como pode ser o seu comportamente. Mas primeiro vamos relembrar como é o gráfico da função:

y = ln ⁡ x

Só que na nossa função, o raio é o logaritmo natural do ângulo θ :

r = ln ⁡ θ

Vamos então discutir algumas características dessa função.

Passo 2

Sabemos que:

- A função r = l n ( θ ) envolve o logaritmo natural de θ , que cresce de forma lenta e gradual à medida que θ aumenta. Isso implica que o raio r aumenta de forma gradativa à medida que nos afastamos da origem e criando uma curva que se expande indefinidamente em torno da origem.

- Como l n ( θ ) cresce muito lentamente, a função r = l n ( θ ) se comporta de maneira similar a uma espiral logarítmica, onde as voltas ficam cada vez mais espaçadas à medida que nos afastamos da origem.

- O intervalo 1 ≤ θ ≤ 6 π cobre múltiplas voltas no plano polar, permitindo observar o comportamento completo da espiral.

- O raio aumenta logaritmicamente com θ , o que significa que a espiral se torna mais espaçada à medida que se afasta da origem.

- A origem é um ponto importante onde a espiral começa, além disso, a espiral não tem extremos definidos, pois continua a se expandir infinitamente com θ .

Passo 3

Vamos começar analisando a função de l n θ usando o intervalo dado, 1 ≤ θ ≤ 6 π .

O l n θ começa em 0 e aumenta continuamente, isso significa que para nossa curva polar, r aumenta conforme θ aumenta, o que significa que segue uma forma espiral similar aos gráficos I I I e V I .

Passo 4

Analise dos demais gráficos.

O gráfico I I I parece crescer com um passo constante enquanto o gráfico V I começa a crescer mais devagar próximo do final do intervalo, baseado no fato de que as linhas estão mais próximas.

l n θ começa a crescer a uma taxa mais lenta. Portanto, baseada nessa informação, podemos combinar r = l n θ com o gráfico V I .

Resposta

O Gráfico correspondente é o V I .

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Esboce a curva com a equação dada. θ = - π 6
Esboce a curva com a equação dada. r = ln ⁡ θ , θ ≥ 1
Esboce a curva com a equação dada. r = θ , θ ≥ 0
Esboce a curva com a equação dada. r = sen ⁡ θ
Esboce a curva com a equação dada. r 2 - 3 r + 2 = 0