Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 1
Construa uma função de Liapunov adequada da forma , em que e devem ser determinados. Depois, mostre que o ponto crítico na origem é do tipo indicado.
Passo 1
O exercício nos pede para encontrar uma função de Liapunov da forma:
Para as duas equações () e ) fornecidas. Para isso, vamos começar pela derivada de . Ela é dada por:
Passo 2
Então:
Se chamarmos e , ou qualquer outros valores positivos para as constantes, teremos que é negativamente de finida e é positivamente definida.
Passo 3
Pelo teorema 9.6.1 do livro: se existir uma função positivamente definida, contínua com derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e seja uma função negativamente definida em um domínio que contenha a origem , então a origem é um ponto crítico assintoticamente estável.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)