Suponha que g é uma função integrável e periódica com período T .

(a) Se 0 ≤ a ≤ T , mostre que

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x

(b) Mostre que, para qualquer valor de a , não necessariamente em 0 ≤ a ≤ T ,

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x

(c) Mostre que, para quaisquer valores de a e b ,

∫ a a + T g x d x = ∫ b b + T g x d x

Passo 1

Uma função periódica é uma função em que:

g x = g ( x + T )

Ou seja, a cada período T , os valores da função se repetem. Dois exemplos comuns de função periódica são as funções sen ⁡ x e cos ⁡ x , que possuem período 2 π . Tudo bem até aqui?

Vamos começar mostrando:

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x

Se 0 ≤ a ≤ T podemos escrever:

∫ 0 T g x d x = ∫ 0 a g x d x + ∫ a T g x d x

E

∫ a a + T g x d x = ∫ a T g x d x + ∫ T a + T g x d x

Tudo bem?

Ficamos então com:

∫ 0 a g x d x + ∫ a T g x d x = ∫ a T g x d x + ∫ T a + T g x d x

∫ 0 a g x d x = ∫ T a + T g x d x

Resta mostrar que

∫ 0 a g x d x = ∫ T a + T g x d x

Aplicando a substituição

s = x - T

d s = d x

Na segunda integral:

∫ T a + T g x d x = ∫ 0 a g s + T d s

Como g é periódica g s = g ( s + T ) :

∫ T a + T g x d x = ∫ 0 a g s d s

Então:

∫ 0 a g x d x = ∫ T a + T g x d x = ∫ 0 a g s d s

Passo 2

Vamos agora demonstrar que

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x

É válido para qualquer valor de a .

Como g é uma função periódica:

g x = g x + T = g x + 2 T = … = g ( x + n T )

Então, o primeiro ponto para provar que a relação é válida para qualquer a é que, mesmo que a esteja fora do intervalo 0 ≤ a ≤ T , o fato da função ser periódica permite que possamos escrever:

∫ 0 T g x d x = ∫ T 2 T g x d x = … = ∫ n - 1 T n T g x d x

Pois como mostramos no item (a):

∫ 0 a g x d x = ∫ T a + T g x d x

Tudo bem até aqui?

Podemos continuar a escrever até encontrar um intervalo n - 1 T ≤ a ≤ n T . Ficaremos então com a relação:

∫ 0 T g x d x = ∫ n - 1 T n T g x d x

Como provamos no item (a):

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x

Para um a dentro do intervalo 0 ≤ a ≤ T . Analogamente:

∫ n - 1 T n T g x d x = ∫ n - 1 T + a n T + a g x d x

Aplicando a substituição

s = x - n - 1 T

d s = d x

Na segunda integral:

∫ n - 1 T + a n T + a g x d x = ∫ a a + T g s + ( n - 1 ) T d s

Como g é periódica g s = g ( s + ( n - 1 ) T ) :

∫ n - 1 T + a n T + a g x d x = ∫ a a + T g s d s

Então:

∫ 0 T g x d x = ∫ n - 1 T n T g x d x = ∫ n - 1 T + a n T + a g x d x = ∫ a a + T g s d s

Passo 3

O último ponto é mostrar que

∫ a a + T g x d x = ∫ b b + T g x d x

Já mostramos que para qualquer a é válido:

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g x d x

Dado que a função g é periódica e, portanto, a estará contido em algum intervalo n - 1 T ≤ a ≤ n T . Como aplicar translações de n períodos não altera o valor da integral:

∫ 0 T g x d x = ∫ n - 1 T n T g x d x = ∫ n - 1 T + a n T + a g x d x = ∫ a a + T g s d s

Repetindo o raciocínio do item anterior para b , devemos encontrar algo da forma:

∫ 0 T g x d x = ∫ n - 1 T n T g x d x = ∫ n - 1 T + b n T + b g x d x = ∫ b b + T g s d s

Igualando estas duas relações:

∫ 0 T g x d x = ∫ a a + T g s d s = ∫ b b + T g s d s

E, portanto:

∫ a a + T g x d x = ∫ b b + T g x d x

Conseguimos mostrar que a integral de uma função periódica, no intervalo de um período tem valor constante, independente de seu ponto inicial.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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