Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 27
Suponha que é uma função integrável e periódica com período .
(a) Se , mostre que
(b) Mostre que, para qualquer valor de , não necessariamente em ,
(c) Mostre que, para quaisquer valores de e ,
Passo 1
Uma função periódica é uma função em que:
Ou seja, a cada período , os valores da função se repetem. Dois exemplos comuns de função periódica são as funções e , que possuem período . Tudo bem até aqui?
Vamos começar mostrando:
Se podemos escrever:
E
Tudo bem?
Ficamos então com:
Resta mostrar que
Aplicando a substituição
Na segunda integral:
Como é periódica :
Então:
Passo 2
Vamos agora demonstrar que
É válido para qualquer valor de .
Como é uma função periódica:
Então, o primeiro ponto para provar que a relação é válida para qualquer é que, mesmo que esteja fora do intervalo , o fato da função ser periódica permite que possamos escrever:
Pois como mostramos no item (a):
Tudo bem até aqui?
Podemos continuar a escrever até encontrar um intervalo . Ficaremos então com a relação:
Como provamos no item (a):
Para um dentro do intervalo . Analogamente:
Aplicando a substituição
Na segunda integral:
Como é periódica :
Então:
Passo 3
O último ponto é mostrar que
Já mostramos que para qualquer é válido:
Dado que a função é periódica e, portanto, estará contido em algum intervalo . Como aplicar translações de períodos não altera o valor da integral:
Repetindo o raciocínio do item anterior para , devemos encontrar algo da forma:
Igualando estas duas relações:
E, portanto:
Conseguimos mostrar que a integral de uma função periódica, no intervalo de um período tem valor constante, independente de seu ponto inicial.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)