Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 4

Determinar o trabalho realizado pela força constante para deslocar uma partícula ao longo da reta , do ponto .

Passo 1

Vamos lá, trabalho a gente calcula usando a integral:

Onde é a força e é o caminho parametrizado.

Essa equação da reta é cartesiana, a gente precisa de uma paramétrica. Pra isso a gente pode fazer o seguinte:

Achar um vetor paralelo da reta.
Achar um ponto da reta.

É mais fácil do que parece, vamos lá...

Passo 2

A reta é . O vetor normal dessa reta é , certo?! Um vetor paralelo a esse é (o produto interno tem que dar zero).

Beleza, um ponto da reta é por exemplo.

Só a gente escrever a equação paramétrica agora...

E a derivada é: .

Como o trabalho é feito do ponto ao ponto , o intervalo de aqui é , na verdade nesse caso vai ter que ser invertido pelo sentido de onde começa.

Passo 3

Agora a gente pode montar a integral do trabalho, sendo que a força é

Pronto! O trabalho nesse caso é nulo.

Resposta

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Seja F → um campo vetorial contínuo em Ω e sejam γ 1 : a , b → Ω e γ 2 : c , d → Ω duas curvas quaisquer de classe C 1 , tais que I mγ 1 = I mγ 2 . A afirmação ∫ γ 1 F → ⋅ d γ 1 = ∫ γ 2 F → ⋅ d γ 2 Ou

Calcule ∫ γ d x + d y , onde γ é o poligonal de vértice A 0 = 0,0 , A 1 = 1,2 , A 2 = - 1,3 , A 3 = - 2,1 e A 4 = - 1 , - 1 , sendo γ orientada de A 0 para A 4 .

Calcule ∫ γ x 2 d x + y 2 d y + z 2 d z onde γ é a curva do Exercício 5.

Calcule ∫ γ x - y d x + e x + y d y , onde γ é a fronteira do trinângulo de vértice 0,0 ,0,1 e 1,2 , orientada no sentido antí-horário.

Calcule ∫ γ y 2 d x + x d y - d z , onde γ é o poligonal de vértices A 0 = 0,0 , 0 , A 1 = 1,1 , 1 e A 2 = 1,1 , 0 , orientada de A 0 para A 2 .