Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ ( n - 1,4 + 3 n - 1,2 )

Passo 1

Show de bola, galera... Temos uma série pra analisar a convergência:

∑ n = 1 ∞ ( n - 1,4 + 3 n - 1,2 )

Mas como ela é uma soma, vamos abrir em 2 séries, porque vai ficar uma coisa mais simples pra gente analisar:

∑ n = 1 ∞ ( n - 1,4 + 3 n - 1,2 ) = ∑ n = 1 ∞ n - 1,4 + ∑ n = 1 ∞ 3 n - 1,2

Prontooo! Agora a gente tem 2 séries pra avaliar, mas são séries muito mais simples. E se você reparar bem, esse n elevado a um expoente tem carinha de ser uma p-série.

As p-séries tem essa forma aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 n p

E o critério de convergência é esse:

  • Se p > 1 a série converge
  • Se p ≤ 1 a série diverge

Bem simples ne, então é basicamente colocar a série nesse formato geral das p-séries e identificar o valor de p .

Vamos la!

Passo 2

Vamos reescrever nossa série pra ficar parecida com a forma geral das p-séries:

∑ n = 1 ∞ n - 1,4 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,4

E agora fica moleza de comparar com:

∑ n = 1 ∞ 1 n p = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,4

Aqui temos:

p = 1,4 > 1

Portanto essa série é convergente!

Passo 3

Pra transformar essa aqui, além de mandar n pro denominador, precisamos tirar a constante de dentro da somatória:

∑ n = 1 ∞ 3 n - 1,2 = 3 ∑ n = 1 ∞ n - 1,2 = 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 , 2

Agora vamos comparar só as somatórias:

∑ n = 1 ∞ 1 n p = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 , 2

Aqui temos:

p = 1,2 > 1

Então ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,2 é uma série convergente. E multiplicar por 3 não muda nada na convergência, então:

3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,2

Também é convergente!

Passo 4

Estamos diante de uma combinação de 2 p-séries convergentes:

∑ n = 1 ∞ ( n - 1,4 + 3 n - 1,2 ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,4 ⏟ p-série com  p = 1,4 + 3 ∙ ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,2 ⏟ p-série com  p = 1,2

A combinação de 2 séries convergentes, é uma série convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ ( n - 1,4 + 3 n - 1,2 )   é convergente

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