Enunciado

Determine se a série é convergente ou divergente.

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2

Passo 1

Show de bola, galera. Partiu aplicar o Teste da Integral?

Para resolver as questões que envolvem o Teste da Integral não tem muito mistério! É só seguir o passo a passo que vamos apresentar, beleza?

Nosso primeiro passo será sempre olhar o nosso termo geral a n da série e associá-lo a uma função f ( x ) . Nesse nosso caso, ficamos com:

a n = e 1 / n n 2 ↔ f x = e 1 / x x 2

Ainda como parte do primeiro passo, é bom avaliarmos se a nossa função é contínua, positiva e decrescente entre os limites da nossa série, que, nesse caso, se configura no domínio [ 1 , ∞ ) .

De maneira prática, é só olhar para o termo geral a n e ver se ele será sempre positivo (no nosso caso, é tranquilo de perceber isso) e se ele decresce à medida que n aumenta. Essa última parte é praticamente o Teste da Divergência, ou seja, se percebermos que

lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0

então não só não aplicaremos o Teste da Integral, como também já saberemos que a série é divergente.

O Teste da Integral, em outras palavras:

(i) Se ∫ 1 ∞ f x d x for convergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é convergente.

(ii) Se ∫ 1 ∞ f x d x for divergente, então ∑ n = 1 ∞ a n   é divergente.

Caso não se lembre, quando temos uma integral imprópria, que é o nosso caso, para resolvermos temos que aplicar o seguinte limite:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t f ( x ) d x

Passo 2

Show de bola! Agora no segundo passo calcularemos a seguinte integral imprópria:

∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 ∞ e 1 / x x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t e 1 / x x 2 d x

Bom, para resolvermos essa integral, vamos usar a substituição u = 1 x ∴ d u = - d x x 2 :

∫ e 1 / x ⏞ u ∙ d x x 2 ⏟ - d u = - ∫ e u d u = - e u = - e 1 / x

Agora que temos valor da integral, retornamos ao nosso limite:

lim t → ∞ ⁡ - e 1 / x 1 t = lim t → ∞ ⁡ - e 1 / t + e = e - 1

Passo 3

Opa! A nossa integral imprória convergiu para um valor!

Logo, pelo Teste da Integral, a nossa série é convergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ e 1 / n n 2   é  convergente

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Teste a convergência ou divergência da série:sum_(n = 1)^(oo) (e^(1 // n))/(n^2)
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4