Enunciado

Se y = f ( u ) e u = g ( x ) , onde f e g possuem três derivadas, encontre uma fórmula para d 3 y / d x 3 análoga à dada no exercício 95.

Passo 1

O exercício pede para encontramos uma expressão para a terceira derivada de uma função composta y = f g x .

Pode-se usar a resolução do exercício 95 para partir direto da segunda derivada.

Em nossa resolução partiremos do começo calculando todas as derivadas até a terceira.

Vamos usar a notação de Leibniz, basicamente a notação diz que é uma forma compacta e elegante de representar as derivadas de uma função em relação a uma ou mais variáveis.

Essa notação é especialmente útil para representar derivadas de funções de uma ou mais variáveis em relação a uma variável específica.

A notação de Leibniz é geralmente escrita na forma:

d y d x

y   é a função dependente e x é a variável independente.

Essa expressão indica a derivada de y em relação a x , ou seja, a taxa de variação instantânea de y com relação a x

Passo 2

A notação de Leibniz é vista como uma "fração" de diferenciais, onde d y representa uma pequena variação na função y   e   d x representa uma pequena variação na variável x .

Portanto, d y / d x representa a razão dessas variações.

A notação d y / d x   também é vista como um operador de derivação, indicando que a derivada da função y em relação a x está sendo tomada.

A notação de Leibniz pode ser estendida para representar derivadas de ordem superior, como d 2 y / d x 2 para a segunda derivada de y em relação a x , ou d 3 y / d x 3 para a terceira derivada, e assim por diante.

A notação de Leibniz também pode ser usada para representar derivadas parciais e derivadas de funções de múltiplas variáveis.

Por exemplo, ∂ f / ∂ x representa a derivada parcial de uma função f em relação a x , mantendo todas as outras variáveis constantes.

Em resumo, a notação de Leibniz oferece uma maneira intuitiva e poderosa de representar derivadas em cálculo diferencial e integral, sendo amplamente utilizada em contextos matemáticos e científicos.

Passo 3

Vamos resolver usando a notação de Leibniz.

Dado y = f u e   u = g ( x ) queremos encontrar d 3 y / d x 3

Podemos começar encontrando a primeira derivada de y em relação a x usando a regra da cadeia:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Usando a notação de Leibniz, isso seria:

d y d x = d f d u ⋅ d g d x

Agora, a segunda derivada de y em relação a x :

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

= d d x d f d u ⋅ d g d x

Passo 4

Usando a regra do produto, temos:

d d x d f d u ⋅ d g d x + d f d u ⋅ d d x d g d x

Continuando, encontramos a terceira derivada de y   em relação a x

d 3 d x 3 = d d x d 2 y d x 2

= d d x d d x d f d u ⋅ d g d x + d f d u ⋅ d d x d g d x

Agora, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia conforme necessário para obter a expressão final para   d 3 d x 3 .

Passo 5

Vamos continuar e simplificar a expressão para d 3 d x 3 .

Temos:

d 3 d x 3 = d d x d 2 y d x 2

Substituindo a expressão para d 2 y d x 2 , que encontramos anteriormente, obtemos:

= d d x d d x d f d u ⋅ d g d x + d f d u ⋅ d d x d g d x

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia conforme necessário, obtemos:

= d d x d 2 f d u 2 ⋅ d g d x + d f d u ⋅ d 2 g d x 2 + d f d u ⋅ d g d x + d 2 f d u 2 ⋅ d g d x

= d d x d 2 f d u 2 ⋅ d g d x + d f ⋅ d 2 g d x 2 + d d x d f d u ⋅ d g d x

Agora, aplicando novamente a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos:

= d d x d 2 f d u 2 ⋅ d g d x + d 2 f d u 2 ⋅ d 2 g d x 2 + d d x d f d u ⋅ d g d x

= d 2 d x 2 d 2 f d u 2 ⋅ d g d x + d 2 f d u 2 ⋅ d 2 g d x 2 + d d x d f d u ⋅ d g d x

Agora, vamos considerar cada termo separadamente:

1. d 2 d x 2 d 2 f d u 2 ⋅ d g d x   representa a segunda derivada de d 2 f d u 2 ⋅ d g d x em relação a x .

2. d 2 f d u 2 ⋅ d 2 g d x 2   é o produto das segundas derivadas de f em relação a u e de g em relação a x .

3. d d x d f d u ⋅ d g d x é a primeira derivada de d f d u ⋅ d g d x em relação a x .

Resposta

d 3 y d x 3 = d 2 d x 2 d 2 f d u 2 ⋅ d g d x + d 2 f d u 2 ⋅ d 2 g d x 2 + d d x d f d u ⋅ d g d x

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