Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 100
Se e , onde e possuem três derivadas, encontre uma fórmula para análoga à dada no exercício 95.
Passo 1
O exercício pede para encontramos uma expressão para a terceira derivada de uma função composta .
Pode-se usar a resolução do exercício 95 para partir direto da segunda derivada.
Em nossa resolução partiremos do começo calculando todas as derivadas até a terceira.
Vamos usar a notação de Leibniz, basicamente a notação diz que é uma forma compacta e elegante de representar as derivadas de uma função em relação a uma ou mais variáveis.
Essa notação é especialmente útil para representar derivadas de funções de uma ou mais variáveis em relação a uma variável específica.
A notação de Leibniz é geralmente escrita na forma:
é a função dependente e é a variável independente.
Essa expressão indica a derivada de em relação a , ou seja, a taxa de variação instantânea de com relação a
Passo 2
A notação de Leibniz é vista como uma "fração" de diferenciais, onde representa uma pequena variação na função representa uma pequena variação na variável
Portanto, representa a razão dessas variações.
A notação também é vista como um operador de derivação, indicando que a derivada da função em relação a está sendo tomada.
A notação de Leibniz pode ser estendida para representar derivadas de ordem superior, como para a segunda derivada de em relação a ou para a terceira derivada, e assim por diante.
A notação de Leibniz também pode ser usada para representar derivadas parciais e derivadas de funções de múltiplas variáveis.
Por exemplo, representa a derivada parcial de uma função em relação a mantendo todas as outras variáveis constantes.
Em resumo, a notação de Leibniz oferece uma maneira intuitiva e poderosa de representar derivadas em cálculo diferencial e integral, sendo amplamente utilizada em contextos matemáticos e científicos.
Passo 3
Vamos resolver usando a notação de Leibniz.
Dado queremos encontrar
Podemos começar encontrando a primeira derivada de em relação a usando a regra da cadeia:
Usando a notação de Leibniz, isso seria:
Agora, a segunda derivada de em relação a
Passo 4
Usando a regra do produto, temos:
Continuando, encontramos a terceira derivada de em relação a
Agora, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia conforme necessário para obter a expressão final para.
Passo 5
Vamos continuar e simplificar a expressão para .
Temos:
Substituindo a expressão para , que encontramos anteriormente, obtemos:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia conforme necessário, obtemos:
Agora, aplicando novamente a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos:
Agora, vamos considerar cada termo separadamente:
1. representa a segunda derivada de em relação a .
2. é o produto das segundas derivadas de em relação a e de em relação a
3. é a primeira derivada de em relação a .