Se y = f(u) e u = g(x) , onde f e g são funções duas vezes deriváveis, mostre que

(d²y / d²x) = (d²y / d²u) * (du / dx)² + (dy / du) * (d²u / d²x)

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😊

O exercício pede para demonstramos uma expressão para a segunda derivada de uma função composta y = f g x . Para isso, derivamos duas vezes usando a regra da cadeia.

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Vamos explicar as regras que será usadas para resolver esse exercicio:

Regra da Cadeia:

A regra da cadeia é uma regra fundamental da diferenciação que permite calcular a derivada de uma função composta. Se temos uma função y que é função de u , e u é uma função de x , então a derivada de y em relação a x é dada pelo produto das derivadas de y em relação a u e de u em relação a x . Matematicamente, isso pode ser expresso como:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Essa é a regra que usamos para encontrar a primeira derivada de y em relação a x .

Regra do Produto:

A regra do produto é uma regra que nos permite derivar o produto de duas funções. Se temos duas funções u ( x ) e v x , então a derivada do produto u x ⋅ v ( x ) é dada por:

d d x u ⋅ v = u ' v + u v '

Essa regra é aplicada quando derivamos o produto d y / d x na segunda etapa da resolução.

Aplicação da Regra da Cadeia para Derivadas de Segunda Ordem:

Na última etapa, estamos derivando a expressão d y / d x novamente em relação a x para encontrar d 2 y / d x 2 Aqui, aplicamos a regra da cadeia mais uma vez, onde d y / d u é tratado como uma função de u   e d u / d x é tratado como uma função de x .

Passo 2

Para resolver esta questão, usaremos a regra da cadeia e aplicaremos a derivada segunda em relação a x .

Vamos começar:

Dado y = f u e   u = g ( x ) , queremos encontrar d 2 y / d x 2

Pela regra da cadeia, a primeira derivada de y em relação a x é:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Agora, derivamos essa expressão em relação a x novamente para encontrar d 2 y d x 2

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

Usando a regra do produto, derivamos d y d x

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x

d 2 y d x 2 = d d u d y d u ⋅ d u d x + d y d u ⋅ d d x d u d x

Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente.

A primeira parcela corresponde à derivada segunda de y em relação a u e a segunda parcela corresponde à derivada primeira de u em relação a x .

Isso nos dá:

d 2 y d x 2 = d d u d y d u ⋅ d u d x + d y d u ⋅ d d x d u d x

Bacana, não é? Responde Aí! 👀

Resposta

Demonstração.

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21-Seja phi a função dada por ϕ(x) = x^2 + 1. Calcule:A)ϕ'(ϕ(x)) B)φ' (φ(x))
20- Suponha f: R → R derivável e considere a função dada por y = x^2 * f(x^2 + 1) Verifique que dy/dx = 2x * f(x^2 + 1) + 2x^3 * f'(x^2 + 1) Expresse dy/dx | x=1 │ em termos de f(2) e f'(2)
17- Considere as funções dadas por y = a x 2 e y = - x 2 + 1 . Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos interceptam ortogonalmente em ( x 0 , y 0 ) se as retas tang
18 -Determine a para que as circunferências y^2 + x^2 = 1 e (x - a)^2 + y^2 = 1 se interceptem ortogonalmente.