Exercícios Resolvidos de Derivação Logarítmica

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Enunciado

Calcule a derivada da função dada:

y = cos ⁡ x sen ⁡ x 2

Passo 1

Como temos uma potência composta aqui, porém, tanto a base quando o expoente são funções de x . Então, teremos que usar a derivação logararitmica aqui.

Então vamos lá! Aplicando o ln: ln ⁡ y = ln ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ x 2

Usando a propriedade do peteleco no log, podemos jogar o seno para fora multiplicando: ln ⁡ y = sen ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 2

Agora podemos derivar implicitamente!

ln ⁡ y ' = sen ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ x '

Sendo:

ln ⁡ y ' = 1 y y ' = y ' cos ⁡ x sen ⁡ x 2

Passo 3

E, pela regra do produto:

sen ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ x ' = sen ⁡ x 2 ' ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x '

Para sen ⁡ x 2 ' , temos uma função composta. Então vamos usar a regra da cadeia. Sendo u = x 2 , que é o que está dentro do seno:

sen ⁡ x 2 ' = d sen ⁡ u d u ⋅ d u d x

Onde:

d sen ⁡ u d u = sen ⁡ u ' = cos ⁡ u = cos ⁡ u = cos ⁡ x 2

d u d x = x 2 ' = 2 x

Ou seja:

sen ⁡ x 2 ' = 2 x cos ⁡ x 2

Já para ln ⁡ cos ⁡ x ' , usamos novamente a regra da cadeia, mas com w = cos ⁡ x , que é o que está dentro do ln.

ln ⁡ cos ⁡ x ' = d ln ⁡ w d w ⋅ d w d x = 1 w ⋅ - sen ⁡ x = - sen ⁡ x cos ⁡ x = - tg ⁡ x

Dessa forma, substituindo na regra do produto:

sen ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ x ' = 2 x cos ⁡ x 2 ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x 2 tg ⁡ x

Passo 4

Substituindo na formula da derivação implícita e isolando a derivada:

ln ⁡ y ' = sen ⁡ x 2 ln ⁡ cos ⁡ x '

y ' cos ⁡ x sen ⁡ x 2 = 2 x cos ⁡ x 2 ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x 2 tg ⁡ x

y ' = cos ⁡ x sen ⁡ x 2 2 x cos ⁡ x 2 ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x 2 tg ⁡ x

Ufa!

Resposta

y ' = cos ⁡ x sen ⁡ x 2 2 x cos ⁡ x 2 ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x 2 tg ⁡ x

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