Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

Derive:

y = tan ⁡ x - 2 x   8 x ∙ sech ⁡ x - 20   sec ⁡ x x + sinh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x + 5 sinh ⁡ x

Passo 1

Para derivar essa coisa doida ai, primeiro vamos aplicar a distributiva só nos termos que não tem quadrado:

y = tan ⁡ x - 2 x   8 x ∙ sech ⁡ x - 20   sec ⁡ x x + 5 sinh ⁡ x - 2 x   sinh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x

y = tan ⁡ x -   16 sech ⁡ x + 40   sec ⁡ x + 5 sinh ⁡ x - 2 x   sinh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x

Agora vou separar essa função em dois pedaços e fazer um de cada vez. Dessa forma eu deixo pra me preocupar com os termos ao quadrado depois:

y = y 1 + y 2

y ' = y 1 ' + y 2 '

y 1 = tan ⁡ x -   16 sech ⁡ x + 40   sec ⁡ x + 5 sinh ⁡ x

y 2 = - 2 x sinh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x

Passo 2

Agora pra derivar essas somas e subtrações sem termos ao quadrado basta a gente obedecer as regras de derivação:

y 1 ' = tan ⁡ x ' - 16 sech ⁡ x ' + 40 sec ⁡ x ' + 5 sinh ⁡ x '

y 1 ' = tan ⁡ x ' - 16 sech ⁡ x ' + 40 sec ⁡ x ' + 5 sinh ⁡ x '

Passo 3

Vamos fazer uma derivada de cada vez. Começamos pela tangente:

tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

A sech ⁡ x pode ser derivada pelo que apresentamos na teoria:

sech ⁡ x ' = - sech ⁡ x tgh ⁡ x

Ja sec ⁡ x temos a derivada da parte de derivação trigonométrica, que é equivalente a:

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

E pra fechar, deriva-se o seno hiperbólico:

sinh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

Passo 4

Sendo assim,

y 1 ' = tan ⁡ x ' - 16 sech ⁡ x ' + 40 sec ⁡ x ' + 5 sinh ⁡ x '

y 1 ' = sec 2 ⁡ x - 16 - sech ⁡ x tgh ⁡ x + 40 sec ⁡ x tg ⁡ x + 5 cosh ⁡ x

y 1 ' = sec 2 ⁡ x + 16 sech ⁡ x tgh ⁡ x + 40 sec ⁡ x tg ⁡ x + 5 cosh ⁡ x

Passo 5

Agora, pra gente fechar e partir pro abraço, vamos olhar o que ficou faltando:

y 2 = - 2 x sinh 2 ⁡ x - cosh 2 ⁡ x

Como y 2 tem termos ao quadrado, talvez seja interessante usar as definição das funções hiperbólicas. Vai que conseguimos reescrever de forma mais simples?

sinh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Vamos ter então:

y 2 = - 2 x ∙ e x - e - x 2 2 - e x + e - x 2 2

y 2 = - 2 x ∙ e x - e - x 2 4 - e x + e - x 2 4

y 2 = - 2 x ∙ e 2 x - e x e - x - e x e - x + e - 2 x 4 - e 2 x + e x e - x + e x e - x + e - 2 x 4

y 2 = - 2 x ∙ e 2 x - 2 + e - 2 x 4 - e 2 x + 2 + e - 2 x 4

Rearranjando, temos:

y 2 = - 2 x ∙ e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4 - e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4

y 2 = - 2 x ∙ e 2 x + e - 2 x 4 - e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4 - 2 4

y 2 = 2 x

E logo, a derivada vai ser:

y 2 ' = 2

Por fim, temos:

y ' = sec 2 ⁡ x + 16 sech ⁡ x tgh ⁡ x + 40 sec ⁡ x tg ⁡ x + 5 cosh ⁡ x + 2

Resposta

y ' = sec 2 ⁡ x + 16 sech ⁡ x tgh ⁡ x + 40 sec ⁡ x tg ⁡ x + 5 cosh ⁡ x + 2

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