Exercícios Resolvidos de Diferenciabilidade de Funções Definidas por Partes

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Enunciado

  1. Considere as funções f e g definidas abaixo.

f x = x 2 s e n 1 x   s e   x ≠ 0 ,   0   s e   x = 0   g x = x s e n 1 x   s e   x ≠ 0 ,   0   s e   x = 0  

Usando a definição, verifique que f é derivável (e, portanto, contínua) em x = 0 . Verifique em seguida que g é contínua em x = 0 mas não é derivável nesse mesmo ponto.

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de diferenciabilidade e de continuidade de funções.

Primeiramente, dizemos que uma função é derivável (ou diferenciável) em um ponto x 0 se ela satisfaz a seguinte condição

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

for um limite que existe.

O conceito de continuidade de uma função nos diz que uma função é contínua em um ponto x 0 se

  1. f x 0   e s t á   d e f i n i d a
  2. Existir lim x → x 0 ⁡ f ( x )
  3. lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = f ( x o )

Passo 2

Vamos agora observar a função f x que nós temos.

f x = x 2 s e n 1 x   s e   x ≠ 0 ,   0   s e   x = 0  

Aqui podemos usar inicialmente a definição de diferenciabilidade. Logo, para f ( x ) se derivável em x = 0 ,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 s e n 1 x x = lim x → 0 ⁡ x ∙ s e n 1 x

Não podemos calcular esse limite diretamente e, por isso, usaremos Teorema do Confronto. Para isso, usaremos a seguinte relação, - x ≤ x ∙ s e n 1 x ≤ | x |

Calculando o limite das funções mais à esquerda e mais à direita temos

lim x → 0 ⁡ - x = - lim x → 0 ⁡ x = -   0 = 0

e

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Como, tanto a função maior ( | x | ) como a função menor( - | x | ) convergem para 0 quando x → 0 , o teorema do confronto nos garante que a função que queremos analisar x ∙ s e n 1 x também converge para 0.

Assim,

f ' 0 = lim x → 0 ⁡ x ∙ s e n 1 x = 0

E, como mostramos que esse limite existe, já que é igual a 0, mostramos que f ( x ) é diferenciável em x = 0 e, portanto, contínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos avaliar nossa função g ( x ) .

g x = x s e n 1 x   s e   x ≠ 0 ,   0   s e   x = 0  

Aqui vamos primeiro analisar a continuidade da função x 0 = 0 . Assim,

  1. g x 0   e s t á   d e f i n i d a ,   p o i s   g 0 = 0
  2. lim x → x 0 ⁡ g x = lim x → 0 ⁡ x ∙ s e n 1 x = 0 ,   c o m o   c o n f i r m a m o s   n o   p a s s o   a n t e r i o r
  3. lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = g x o = 0

Portanto podemos concluir que g x é contínua em x 0 = 0 .

Temos que verificar a diferenciabilidade, ou não, de g ( x ) em x 0 = 0 . Então, aplicando a definição, temos,

g ' 0 = lim x → 0 ⁡ g x - g 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x s e n 1 x x = lim x → 0 ⁡ s e n 1 x

Como esse limite não existe, podemos dizer que apesar da função ser contínua em x 0 = 0 , ela não é derivável nesse ponto.

Então é isso, galeraa, por enquanto é só. Até a próxima.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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