Exercícios Resolvidos de EDOs no SIMULINK

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Enunciado

Considere u = u ( t ) . Seja a equação diferencial de primeira ordem em u ( t ) , com valor inicial conhecido, u ( 0 ) = 1 .

d u d t + 2 u + 1 = 0

Resolva a equação diferencial utilizando o SIMULINK.

Passo 1

Para resolver uma equação diferencial pelo SIMULINK, a dica é “isolar” a derivada da EDO. Por isso, vamos rearranjar a EDO para:

d u d t = u ' = - 2 u - 1

Desta forma, conseguimos fazer aquele raciocínio: “a derivada é igual a quê?” e descobrimos onde pôr o bloco “Integrator” para obter u ( t ) . Além do mais, isso ajuda a identificar qual o primeiro bloco que colocaremos no modelo, que muito provavelmente virá da biblioteca “Source”.

A resposta do exercício será um gráfico de u ( t ) , por isso, usaremos no modelo um bloco “Scope”.

Passo 2

Olhando a EDO rearranjada, sabemos u ’ é igual a - 2 u - 1 , por isso, vamos começar modelando essa diferença, o lado direito da equação. Em um novo modelo, insira um bloco “Constant” e faça com que ele seja igual a - 1 . Em seguida, insira um bloco “Add” e altere o parâmetro “List of signs” (destacado abaixo), para que ambas as entradas de “Add” tenham um sinal negativo, para fazermos - 2 u - 1 .

Passo 3

O objetivo é que a saída de “Add” seja igual a - 2 u - 1 . E quem é - 2 u - 1 ? É u ’ ! Logo, é à direita de “Add” que incluiremos um bloco “Integrator”, que nos dará u ( t ) . Para isto, vá à biblioteca “Continuous”, insira um bloco “Integrator” ao modelo e conecte sua entrada à saída de “Add”, como na figura abaixo:

Não sei se você reparou, mas eu anotei ali no modelo, acima da flecha entre “Add” e “Integrator”, um u ’ , pra dizer que aquele sinal é a derivada de u . Você pode fazer isso clicando no botão “Annotation” (destacado em azul acima), na lateral esquerda da janela onde construímos os modelos, e em seguida clicando sobre o lugar onde você quer fazer a anotação. Daí, é só digitar o que você quiser.

Esse é um jeito bom de não se perder nos diagramas de blocos das EDOs.

Vamos alterar a condição inicial para y ( 0 ) = 1 , acessando as propriedades de “Integrator” e mudando o parâmetro “Initial Condition” de 0 para 1 :

Passo 4

A saída de “Integrator” será u ( t ) , a solução da nossa EDO. Como queremos gerar o gráfico dela, vamos inserir um bloco “Scope”. Conecte a saída de “Integrator” a entrada de “Scope”:

Agora que temos u ( t ) , podemos criar a componente 2 u da expressão - 2 u - 1 . Para isto, insira um bloco “Gain”, da biblioteca “Math Operations”, altere seu ganho para 2 e conecte sua entrada ao sinal saindo de “Integrator”. Você fará isto clicando sobre a entrada de “Gain” e arrastando. Aparecerá um flecha vermelha:

Conecte a extremidade livre à seta entre “Integrator” e “Scope”. Desta forma, u ( t ) vai para “Scope” e “Gain” simultaneamente. Em seguida, conecte a saída de “Gain” à entrada disponível de “Add”. Você estará levando 2 u para fazer a diferença - 2 u - 1 :

Pronto! A EDO está modelada no SIMULINK e podemos obter sua solução, em forma de gráfico, rodando o programa.

Resposta