Partindo simultaneamente do repouso um disco de raio e um anel de raio rolam sem deslizar, descendo uma rampa inclinada, a partir de uma mesma altura da base (medida do ponto de contato dos objetos com a rampa). É correto afirmar que:
(a) Se os dois corpos tiverem a mesma massa a sua energia cinética final será a mesma, independente de quais sejam os seus raios.
(b) Se o anel sempre chegará primeiro na base da rampa, independente de quais sejam as massas dos dois corpos.
(c) Se as massas dos corpos rígidos forem iguais, o anel sempre chegará primeiro na base da rampa, independente de quais sejam os raios.
(d) Se os dois corpos tiverem a mesma massa e mesmo raio, o centro de massa do anel e do disco chegarão à base da rampa com mesma velocidade.
(e) O disco e o anel sempre chegarão na base da rampa ao mesmo tempo, independente de quais sejam as massas e raios.
Passo 1
Vamos fazer as continhas e descobrir a aceleração para ambos objetos, aplicando a Segunda Lei de Newton para translação e rotação.
Na direção do plano inclinado só atuam a componente da força peso e a força de atrito:
Passo 2
Já na rotação, apenas a força de atrito gera torque:
Além disso, num rolamento sem deslizamento, temos:
Então:
Passo 3
Substituindo a da última equação na Segunda Lei para translação, temos:
Isolando a aceleração:
Passo 4
Se considerarmos o momento de inércia do disco como:
E o do anel:
Temos que as acelerações são:
Podemos ver que as acelerações dos dois não dependem nem das massas nem dos raios, uma vez estabelecidas suas geometrias e momentos de inércia.
Como a aceleração do disco é maior, ele chega antes ao solo.
Assim, as afirmativas (b), (c), (d) e (e) estão incorretas.
Passo 5
Resta a afirmativa (a)...
(a) Se os dois corpos tiverem a mesma massa a sua energia cinética final será a mesma, independente de quais sejam os seus raios.
Conservando a energia mecânica e assumindo as mesmas massas e mesmos raios para os dois, temos que a energia potencial gravitacional se converte em cinética de translação e rotação:
A energia potencial gravitacional é a mesma para ambos, certo?
Então, como a energia mecânica se conserva, toda essa energia vai se transformar em energia cinética, por mais que as parcelas de cinética de translação e de rotação não sejam necessariamente as mesmas para os dois casos.
A letra (a) é verdadeira.
Resposta
Letra (a)