Enunciado

A terceira lei de Kepler relaciona o período de um planeta com o raio de sua órbita r, a constante G da lei de Newton da gravitação ( F = G m 1 m 2 / r 2 ) e a massa do sol M s . Qual combinação destes fatores fornece as dimensões corretas para o período de um planeta?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nós podemos expressar o período de um planeta como o produto dos fatores r ,   G   e M s . Estes fatores devem estar elevado a uma potência, pois assim saberemos se o fator está no numerador ou denominador da equação. Vamos multiplicar ainda por C que será um fator admensional.

T = C ⋅ r a ⋅ G b ⋅ M s c

Sabemos que:

G = F r 2 m 1 m 2

G = F [ r ] 2 m 1 m 2

Substituindo as dimensões conhecidas, temos:

G = M L / T 2 [ L ] 2 M M = L 3 M T 2

Logo:

[ T ] = L a ⋅ L 3 M T 2 b ⋅ M c

T = L a + 3 b ⋅ M c - b ⋅ T - 2 b

Como a dimensão do período deve ser T , temos que:

L 0 ⋅ M 0 ⋅ T 1 = L a + 3 b ⋅ M c - b ⋅ T - 2 b

Analisando os expoentes, temos que:

a + 3 b = 0

c - b = 0

- 2 b = 1

Logo:

b = - 1 2

c = - 1 2

a = 3 2

Logo, o período é dado por:

T = C ⋅ r 3 / 2   ⋅ G - 1 / 2 ⋅ M s - 1 / 2

T = C G M s r 3 / 2

Resposta

T = C G M s r 3 / 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O período T de um pêndulo simples depende do comprimento L do pêndulo e da aceleração da gravidade g (dimensões C / T 2 ). (a) Encontre uma combinação simples de L e g que tem dimensões de tempo. (b)
Quando um objeto cai no ar, existe uma força resistiva que depende do produto da área de seção reta do objeto e do quadrado de sua velocidade, isto é, F a r = C A v 2 , onde C é uma constante. Determi
Que combinação de força com outra quantidade física tem as dimensões de potência?
Mostre que o produto de massa, aceleração e rapidez têm dimensão de potência.
A unidade SI de força, o quilograma-metro por segundo ao quadrado ( k g ⋅ m / s 2 ), é chamadada de newton (N).Encontre as dimensões e as unidades SI da constante G na lei de Newton da gravitação, F =