Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Exponencial

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Enunciado

Seja f x = x + c x - c ,             c   ∈   R :

( a ) Calcule lim x → ∞ ⁡ f ( x ) ;

( b ) Determine o valor de c tal que lim x → ∞ ⁡ f x x = 4 ;

Passo 1

( a ) Vamos calcular esse limite que trata de uma divisão de polinômios do mesmo grau. O macete é dividir tudo em cima e embaixo por x :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ x + c x - c

= lim x → ∞ ⁡ x 1 + c x x 1 - c x

= lim x → ∞ ⁡ 1 + c x 1 - c x

= 1 + 0 1 - 0

= 1

Passo 2

( a ) Vamos calcular esse limite:

lim x → ∞ ⁡ f x x = lim x → ∞ ⁡ x + c x - c x

Repara que já tínhamos calculado na letra ( a ) Que o limite do f ( x ) para x → ∞ é 1 , ou seja, caímos na seguinte indeterminação:

lim x → ∞ ⁡ x + c x - c x = 1 ∞

Então temos que transformar essa indeterminação de expoente numa indeterminação de quociente para poder usar L’Hospital. Vamos usar a seguinte relação:

a = e ln ⁡ a

lim x → ∞ ⁡ x + c x - c x = lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x + c x - c x

Vamos nos concentrar só no limite do expoente e depois voltamos para essa expressão.

Passo 3

Focamos em calcular esse cara:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + c x - c x = lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x + c x - c

= lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + c x - c 1 x

Nessa configuração nós chegamos, finalmente, a uma indeterminação de quociente 0 0 . Agora poderemos usar L’Hospital para chegar a um resultado:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + c x - c 1 x → L ' H lim x → ∞ ⁡ x + c x - c ' x + c x - c - 1 x 2

= lim x → ∞ ⁡ - x 2 x + c ' x - c - x + c x - c ' x - c 2 x + c x - c

= lim x → ∞ ⁡ - x 2 x - c - x + c x - c x + c

= lim x → ∞ ⁡ - x 2 - 2 c x - c x + c

= lim x → ∞ ⁡ x 2 2 c x 2 1 - c x 1 + c x

= lim x → ∞ ⁡ 2 c 1 - c x 1 + c x

= 2 c 1 - 0 1 + 0

= 2 c

Passo 4

Voltamos ao limite lá da exponencial:

lim x → ∞ ⁡ e ln ⁡ x + c x - c x = e 2 c

Como no enunciado é dito que lim x → ∞ ⁡ f x x = 4 , temos que:

e 2 c = 4

2 c = ln ⁡ ( 4 ) = 2 ln ⁡ ( 2 )

c = ln ⁡ ( 2 )

Resposta

a   lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 1

b   c = ln ⁡ ( 2 )

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