Determine todos os vetores tais que a solução do problema de valor inicial:
Seja uma função periódica no tempo.
Passo 1
Bom, antes de mais nada temos um sistema de equações diferenciais pra resolver.
A gente sabe que as soluções dele são da forma:
Onde é autovalor e é o autovetor associado a ele.
Então vamos achar a solução geral desse sistema pra entender o que essa questão tá querendo da gente!
Vamos começar encontrando os autovalores da nossa matriz A.
Não esquece que A é a matriz:
Pra encontrar os autovalores dela, usamos que:
Então:
Logo:
Ou:
Passo 2
Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:
pra poder achar os autovetores v.
Pra
Pela primeira linha, já encontramos que:
Agora pela terceira linha:
Então os autovetores são da seguinte forma:
Em particular, podemos escolher o autovetor:
Agora vamos pro próximo autovalor,
Ih, ele é complexo!
Mas relaxa que não vai mudar nadinha na forma de calcular autovetores.
O sistema linear vai ficar da seguinte forma:
Pela segunda linha, tiramos que:
Pela primeira linha:
Então nossos autovetores são:
Fazendo x=2 (só pra gente não precisar trabalhar com frações 😉) vamos ter um autovetor em particular, que é:
Show, agora vamos pro último autovalor!!
O sistema pro fica:
Pela linha 2:
E pela linha 1:
Então os autovetores são:
Fazendo x=2 pelo mesmo motivo de antes, um autovetor em particular é:
Passo 3
Sobrevivemos aos cálculos dos autovalores e autovetores!
Vamos montar as soluções.
Vimos que elas são da forma:
Então temos 3 soluções:
A solução geral é a soma dessas 3, ou seja:
Beleza, mas não é isso que a questão quer!!
A gente quer soluções periódicas, ou seja, do tipo seno ou cosseno.
Po, mas não aparecem essas funções na nossa resposta, e agora??
Passo 4
Na verdade, elas aparecem ali sim, mas estão escondidas na nossa solução geral.
Pra fazer com que elas apareçam, vamos usar a fórmula de Euler:
Manipulando a expressão da solução geral, conseguimos escrever:
Agora já vamos separar essa solução em duas: uma real e outra complexa.
A complexa não vai ter muito significado pra gente nesse caso, porque ela não tem significado concreto.
Vamos estar interessados nas soluções reais periódicas, então vou pegar só o vetor que tem a parte real da solução geral.
Ele é:
Vamos usar a condição inicial dada pra achar o vetor
Fazendo , temos:
Repara que pra solução ser periódica, os coeficientes do seno e cosseno em têm que ser diferentes de 0.
Ou seja, podemos ter:
Ou então:
Ou ainda:
O valor de pode ser qualquer.
Resposta
A solução real é
Para ela ser periódica, qualquer um dos três casos é possível:
O coeficiente não é fixo.