Exercícios Resolvidos de S.E.D.O.L's

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Enunciado

Determine todos os vetores X o tais que a solução do problema de valor inicial:

X ' = 1 0 - 2 0 1 0 1 - 1 - 1 X

X t = 0 = X 0

Seja uma função periódica no tempo.

Passo 1

Bom, antes de mais nada temos um sistema de equações diferenciais pra resolver.

A gente sabe que as soluções dele são da forma:

X = C e λ t v

Onde λ é autovalor e v é o autovetor associado a ele.

Então vamos achar a solução geral desse sistema pra entender o que essa questão tá querendo da gente!

Vamos começar encontrando os autovalores da nossa matriz A.

Não esquece que A é a matriz:

1 0 - 2 0 1 0 1 - 1 - 1

Pra encontrar os autovalores dela, usamos que:

det ⁡ A - λ I = 0

Então:

1 - λ 0 - 2 0 1 - λ 0 1 - 1 - 1 - λ = 0

1 - λ 3 + 2 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ 2 + 2 = 0

Logo:

λ 1 = 1

Ou:

1 - λ 2 + 2 = 0

λ 2 + 1 = 0

λ 2 = i

λ 3 = - i

Passo 2

Agora pra cada autovalor vamos resolver o sisteminha:

A - λ I v = 0

pra poder achar os autovetores v.

Pra λ 1 = 1 :

0 0 - 2 0 0 0 1 - 1 - 2 x y z = 0 0 0

Pela primeira linha, já encontramos que:

z = 0

Agora pela terceira linha:

x - y - 2 z = 0

∴ x = y

Então os autovetores são da seguinte forma:

x , y , z = x , x , 0 = x 1,1 , 0

Em particular, podemos escolher o autovetor:

v 1 = 1,1 , 0

Agora vamos pro próximo autovalor, λ 2 = i .

Ih, ele é complexo!

Mas relaxa que não vai mudar nadinha na forma de calcular autovetores.

O sistema linear vai ficar da seguinte forma:

1 - i 0 - 2 0 1 - i 0 1 - 1 - 1 - i x y z = 0 0 0

Pela segunda linha, tiramos que:

y = 0

Pela primeira linha:

1 - i x - 2 z = 0

∴ z = 1 - i x 2

Então nossos autovetores são:

x , y , z = x , 0 , 1 - i x 2 = x 1,0 , 1 - i 2

Fazendo x=2 (só pra gente não precisar trabalhar com frações 😉) vamos ter um autovetor em particular, que é:

v 2 = 2,0 , 1 - i

Show, agora vamos pro último autovalor!!

O sistema pro λ 3 = - i   fica:

1 + i 0 - 2 0 1 + i 0 1 - 1 - 1 + i x y z = 0 0 0

Pela linha 2:

y = 0

E pela linha 1:

1 + i x - 2 z = 0

∴ z = 1 + i x 2

Então os autovetores são:

x , y , z = x , 0 , 1 + i x 2 = x 1,0 , 1 + i 2

Fazendo x=2 pelo mesmo motivo de antes, um autovetor em particular é:

v 3 = ( 2,0 , 1 + i )

Passo 3

Sobrevivemos aos cálculos dos autovalores e autovetores!

Vamos montar as soluções.

Vimos que elas são da forma:

X = C e λ t v

Então temos 3 soluções:

X 1 = C 1 e t 1,1 , 0

X 2 = C 2 e i t 2,0 , 1 - i

X 3 = C 3 e - i t ( 2,0 , 1 + i )

A solução geral é a soma dessas 3, ou seja:

X = C 1 e t 1,1 , 0 + C 2 e i t 2,0 , 1 - i + C 3 e - i t ( 2,0 , 1 + i )

Beleza, mas não é isso que a questão quer!!

A gente quer soluções periódicas, ou seja, do tipo seno ou cosseno.

Po, mas não aparecem essas funções na nossa resposta, e agora??

Passo 4

Na verdade, elas aparecem ali sim, mas estão escondidas na nossa solução geral.

Pra fazer com que elas apareçam, vamos usar a fórmula de Euler:

e i θ = c o s θ + i s e n θ

Manipulando a expressão da solução geral, conseguimos escrever:

X = C 1 e t 1,1 , 0 + C 2 c o s t + i s e n t 2,0 , 1 - i + C 3 c o s t - i s e n t 2,0 , 1 + i

Agora já vamos separar essa solução em duas: uma real e outra complexa.

A complexa não vai ter muito significado pra gente nesse caso, porque ela não tem significado concreto.

Vamos estar interessados nas soluções reais periódicas, então vou pegar só o vetor que tem a parte real da solução geral.

Ele é:

X r = ( C 1 e t + 2 C 2 c o s t + 2 C 3 c o s t , C 1 e t , C 2 c o s t + C 2 s e n t + C 3 c o s t + C 3 s e n t )

Vamos usar a condição inicial dada pra achar o vetor X 0 :

Fazendo t = 0 , temos:

X r t = 0 = C 1 + C 2 + C 3 , C 1 , C 2 + C 3 = X 0

Repara que pra solução ser periódica, os coeficientes do seno e cosseno em X r têm que ser diferentes de 0.

Ou seja, podemos ter:

C 2 ≠ 0 ,   C 3 ≠ 0

Ou então:

C 2 ≠ 0 ,   C 3 = 0

Ou ainda:

C 2 = 0 , C 3 ≠ 0

O valor de C 1 pode ser qualquer.

Resposta

A solução real é X r = C 1 e t + 2 C 2 c o s t + 2 C 3 c o s t , C 1 e t , C 2 c o s t + C 2 s e n t + C 3 c o s t + C 3 s e n t

Para ela ser periódica, qualquer um dos três casos é possível:

C 2 ≠ 0 ,   C 3 ≠ 0

C 2 ≠ 0 ,   C 3 = 0

C 2 = 0 , C 3 ≠ 0

O coeficiente C 1 não é fixo.

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