Exercícios Resolvidos de Teorema da Divergência no Plano

Ver Teoria

Enunciado

Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função vetorial aqui

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

E pediu para calcularmos o produto vetorial e o produto escalar.

vamos relembrar como calcular o produto escalar e vetorial de uma função vetorial? Primeiro o vetorial! Supondo que nossa função vetorial seja assim

F → = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

Então o produto vetorial ∇ → × F → é definido assim:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z

E o resultado é o resultado do determinante! Beleza?

F é:

∇ → ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ F x ,   F y ,   F z

Tudo bem até aqui? Lembrando que o resultado de um produto vetorial é um vetor, e do produto escalar é um escalar!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial? Nossa função F → é:

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

Aplicando o rotacional temos:

∇ → × F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ln ⁡ x ln ⁡ x y ln ⁡ x y z

Agora precisamos resolver o determinante:

= i ^ ∂ ∂ y ln ⁡ x y z - ∂ ∂ z ln ⁡ x y + j ^ ∂ ∂ z ln ⁡ x - ∂ ∂ x ln ⁡ x y z + k ^ ∂ ∂ x ln ⁡ x y - ∂ ∂ y ln ⁡ x

= i ^ 1 x y z . x z - 0 + j ^ 0 - 1 x y z . y z + k ^ 1 x y . y - 1 x

= 1 y i ^ - 1 x j ^

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar!

Nossa função vetorial é:

F → x , y , z = ln ⁡ x i ^ + ln ⁡ x y   j ^ + ln ⁡ x y z k ^

E o produto escalar é:

∇ → ⋅ F → = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ F x ,   F y ,   F z

Agora é só substituir e fazer o produto escalar entre os dois:

∇ → ⋅ F → = ∂ ∂ x ln ⁡ x + ∂ ∂ y ln ⁡ x y + ∂ ∂ z ( ln ⁡ x y z )

= 1 x + 1 x y . x + 1 x y z . x y

∇ → ⋅ F → = 1 x + 1 y + 1 z

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

∇ → × F → = 1 y i ^ - 1 x j ^

∇ → ⋅ F → = 1 x + 1 y + 1 z

Exercícios de Livros Relacionados

Os pontos P 1 e P 2 são fontes ou sorvedouros no campo vetorial F → mostrado na figura? Dê uma explicação baseada exclusivamente na figura.Dado que F → x , y = x , y 2 , use a definição de divergente
Supondo que v → representa a velocidade de um fluido em movimento, verificar se v → representa um possível fluido incompressível.a) v → x , y = 2 y - 3 i → + x 2 j →
Use o Teorema do Divergente para calcular ∬ S2 x + 2 y + z 2 d S onde S é a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde
Demonstre cada identidade, supondo que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda orde