Exercícios Resolvidos de Vigas Compostas

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Enunciado

Deseja-se projetar uma viga composta como a da figura para apoiar uma estrutura de aço. Com base em seus conhecimentos determine as tensões que aparecem na extremidade do aço, na junção aço latão, e na extremidade do latão. Atenção ao eixo usado.

M = 247,32   K N . m

E a ç o = 200   G p a

E l a t ã o = 101 G p a

Passo 1

Para resolvermos esse tipo de questão, temos que ter na mente duas situações muito importante. A primeira é saber que algum dos materiais terá que ser transformado em um equivalente do outro. E que para fazer essa equivalência precisamos calcular o valor de n e b’.

Executado esses dois primeiros passos, todo o resto se torna mais fácil pois usamos as fórmulas de flexão que já conhecemos.

Então vamos lá, sabemos que o cálculo de n depende dos materiais que serão transformados e dos módulos de elasticidade.

A fórmula é

n = E t r a n s f o r m a d a   E i n t a c t a

Por conveniência eu sempre escolho transformar o material de módulo de elasticidade menor, nesse caso o latão, dessa forma o nosso valor de n será

n = 101 200 = 0,505

Para determinar b’ é simples, é só multiplicar a largura do material que iremos transformar pelo valor de n que determinamos antes, então

b ' = n b

b ' = 0,505   .   653,47 = 330 m m

Agora é como se tivéssemos uma seção retangular inteira de aço, em que o próximo passo será determinar o valor das tensões.

Passo 2

Agora que já sabemos como é nossa seção equivalente, devemos saber algumas coisas sobre como iremos calcular as nossas tensões normais

Primeiro temos que saber que a fórmula entre as tensões na parte intacta e na parte transformada são calculadas por fórmulas diferentes, e as fórmulas são

σ i n t a c t a = - M . Y I

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

Ou seja, na parte transformada consideramos para o cálculo da tensão o valor de n.

Outro ponto importante é se atentar para o valor de Y quando for calcular tanto a seção intacta quanto a transformada. Agora que já sabemos isso vamos ao cálculo.

Passo 3

Sabemos que o valor do momento é facilmente adquirido, além do mais ele já foi dado no enunciado

M = 247,32   K N . m

Com relação ao valor de Y teremos que

Para o trecho acima da linha neutra

Y l a t ã o / e x t r e m i d a d e = 80 c m = - 80   .   10 - 3 m

Y l a t ã o / a ç o = 40 c m = - 40   .   10 - 3 m

Lembrando que o negativo existe pelo fato de arbitrarmos y negativo pra cima

Para o trecho abaixo da linha neutra

Y a ç o / e x t r e m i d a d e = 80 c m = 80   .   10 - 3 m

Também já calculamos no primeiro passo o valor de n, logo

n = 0,505

Agora só falta o momento de inércia

Passo 4

Aqui tem que tomar cuidado, pois o momento de inercia é feito para seção transformada e valerá o mesmo tanto para o trecho intacto quanto para o trecho transformado.

A nossa seção equivalente é

Como se trata de uma seção retangular teremos que fazer

I = B H 3 12

Substituindo teremos que

I = 330 ( 120 + 40 ) 3 12 = 112640000 m m 4 ≈ 1,1264   .   10 - 4 m 4

Passo 5

Agora que já temos todos os valores basta calcularmos as tensões

Para o caso intacto, termos o ponto extremo do aço e o ponto interface aço madeira, então calcularemos duas tensões.

σ i n t a c t a = - M . Y I

Caso extremidade do aço

M = 247,32 K N . m

Y a ç o / e x t r e m i d a d e = 80 c m = 80   .   10 - 3 m

I = 1,1264   .   10 - 4 m 4

σ i n t a c t a = - 247,32   . 80   .   10 - 3 1,1264   .   10 - 4 = - 175653,41   K N m 2 = -   175,6   M p a

Caso interface aço-latão

M = 247,32 K N . m

Y l a t ã o / a ç o = 40 c m = - 40   .   10 - 3 m

I = 1,1264   .   10 - 4 m 4

σ i n t a c t a = - 247,32   . - 40   .   10 - 3 1,1264   .   10 - 4 = 87826,7   K N m 2 = 87,83   M p a

Passo 6

Caso interface latão-aço (caso transformado)

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

M = 247 ,   32 K N . m

Y l a t ã o / a ç o = 40 c m = - 40   .   10 - 3 m

I = 1,1264   .   10 - 4 m 4

n = 0,505

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0,505 . 247,32   . - 40   .   10 - 3 1,1264   .   10 - 4 = 44352,5   K N m 2 = 44,35   M p a

Caso extremidade latão

σ t r a n s f r o m a d a   = - n . M . Y I

M = 247 ,   32 K N . m

Y l a t ã o / e x t r e m i d a d e = 80 c m = - 80   .   10 - 3 m

I = 1,1264   .   10 - 4 m 4

n = 0,505

Substituindo

σ t r a n s f r o m a d a   = - 0,505 . 247,32   . - 80   .   10 - 3 1,1264   .   10 - 4 = 88705   K N m 2 = 88,7   M p a

Resposta

Caso extremidade do aço

σ i n t a c t a = - 175,6   M p a

Caso interface aço-latão

σ i n t a c t a = 87,83   M p a

Caso interface latão-aço (caso transformado)

σ t r a n s f r o m a d a   = 44,35   M p a

Caso extremidade latão

σ t r a n s f r o m a d a   = 88,7   M p a

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