(10 pts) Uma bala de massa 4,0 \mathrm{~g} é disparada horizontalmente com velocidade de 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s} contra um bloco de massa 0,800 \mathrm{~kg}, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. A bala atravessa o bloco e emerge com uma velocidade reduzida para 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) (4 pts) Qual é a velocidade do bloco no instante em que a bala emerge do bloco?
b) ( 4 pts) Logo após a colisão, o bloco desliza ao longo da superfície horizontal até uma distância de 45,0 \mathrm{~cm}, atingindo o repouso. Com base nessa informação responda: qual é o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície?
c) ( 2 pts) A colisão entre a bala e o bloco é do tipo elástica ou inelástica? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
  • Dados:
    • Massa da bala: m=4{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}004\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade inicial da bala: v_{b,i}=400\\ \mathrm{m/s}.
    • Velocidade final da bala (quando sai do bloco): v_{b,f}=120\\ \mathrm{m/s}.
    • Massa do bloco: M=0{,}800\\ \mathrm{kg}.
    • O bloco está inicialmente em repouso: V_i=0.
    • Depois da colisão, o bloco desliza d=45{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}45\\ \mathrm{m} até parar.
    • Aceleração da gravidade: usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • O enunciado pede:
    (a) a velocidade do bloco no instante em que a bala emerge do bloco;
    (b) o coeficiente de atrito cinético \mu_k entre bloco e superfície, usando a distância de deslizamento;
    (c) dizer se a colisão é elástica ou inelástica, justificando.

Passo 2

(a) Calcular a velocidade do bloco no instante em que a bala emerge.
Conservação do momento linear (horizontal) durante a interação rápida bala+bloco:
Explicação rápida do conceito: o momento linear (ou quantidade de movimento) de um sistema isolado é conservado se as forças externas resultantes que atuam durante o intervalo de interesse forem desprezíveis comparadas às internas. Aqui, a interação bala–bloco é muito rápida, então podemos aplicar a conservação do momento para o sistema bala+bloco durante a penetração.
A equação de conservação do momento é
m v_{b,i}+M V_i = m v_{b,f}+M V_f,
onde V_f é a velocidade do bloco imediatamente após a saída da bala. Como V_i=0, isso simplifica para
m v_{b,i} = m v_{b,f} + M V_f.
Isolando V_f,
V_f = \frac{m(v_{b,i}-v_{b,f})}{M}.
Agora plugamos os números (faça as contas passo a passo na prova):
v_{b,i}-v_{b,f}=400-120=280\\ \mathrm{m/s},
m(v_{b,i}-v_{b,f})=0{,}004\times280=1{,}12\\ \mathrm{kg\cdot m/s},
V_f=\frac{1{,}12}{0{,}800}=1{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade do bloco no instante que a bala emerge é 1{,}4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

(b) Determinar o coeficiente de atrito cinético \mu_k usando a distância de deslizamento d=0{,}45\\ \mathrm{m}.
Conceito usado: trabalho da força de atrito transforma a energia cinética inicial do bloco em calor/energia dissipada até o bloco parar. Aplicamos o teorema do trabalho-energia: a variação da energia cinética do bloco é igual ao trabalho das forças (neste caso, o trabalho da força de atrito é negativo e é igual a -\mu_k M g d).
A energia cinética inicial do bloco (imediatamente após a colisão) é
K_i = \frac{1}{2} M V_f^2.
Quando o bloco para, a energia cinética final é zero; a perda de energia é igual ao trabalho da força de atrito:
\frac{1}{2} M V_f^2 = \mu_k M g d.
Simplificando ( M cancela),
\mu_k = \frac{V_f^2}{2 g d}.
Agora calculamos numericamente usando V_f=1{,}4\\ \mathrm{m/s}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, d=0{,}45\\ \mathrm{m}:
V_f^2 = (1{,}4)^2 = 1{,}96\\ \mathrm{m^2/s^2},
2 g d = 2\times9{,}8\times0{,}45 = 8{,}82\\ \mathrm{m^2/s^2},
\mu_k = \frac{1{,}96}{8{,}82}\approx0{,}222.
Arredondando razoavelmente, \mu_k\approx0{,}22. (Mantive três algarismos significativos: 0{,}222.)

Passo 4

(c) A colisão é elástica ou inelástica? Justificativa com contas.
Conceito: numa colisão elástica, a energia cinética total do sistema é conservada durante a colisão. Numa colisão inelástica, parte da energia cinética é convertida em outras formas (calor, som, deformação). Então vou comparar a energia cinética total antes e depois da interação (avaliada logo antes e logo após a passagem da bala).
Energia cinética inicial (só a bala tem velocidade):
K_{i}=\frac{1}{2} m v_{b,i}^2 = \frac{1}{2}\times0{,}004\times400^2.
Calcule:
\frac{1}{2}\times0{,}004 = 0{,}002,
400^2 = 160000,
K_i = 0{,}002\times160000 = 320\\ \mathrm{J}.
Energia cinética final (bala + bloco, logo após a colisão):
  • Bala:
K_{b,f}=\frac{1}{2} m v_{b,f}^2 = 0{,}002\times120^2 = 0{,}002\times14400 = 28{,}8\\ \mathrm{J}.
  • Bloco:
K_{M,f}=\frac{1}{2} M V_f^2 = \frac{1}{2}\times0{,}800\times(1{,}4)^2 = 0{,}4\times1{,}96 = 0{,}784\\ \mathrm{J}.
Energia cinética total final:
K_f = K_{b,f}+K_{M,f} = 28{,}8 + 0{,}784 = 29{,}584\\ \mathrm{J}\\ (\approx29{,}6\\ \mathrm{J}).
Comparação: K_i=320\\ \mathrm{J} e K_f\approx29{,}6\\ \mathrm{J}. A energia cinética final é muito menor que a inicial, portanto a energia cinética NÃO foi conservada: grande parte da energia inicial foi dissipada (calor, deformação do bloco e da bala, som etc.). Logo a colisão é inelástica.

Resposta

(a) V_{\text{bloco}}=1{,}4\\ \mathrm{m/s}
(b) \mu_k\approx0{,}222 (aproximadamente 0{,}22)
(c) Colisão inelástica — a energia cinética não é conservada ( K_i=320\\ \mathrm{J}, K_f\approx29{,}6\\ \mathrm{J}).

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