Exercício 4. Um viajante espacial pousou num planeta X e resolveu descobrir qual a aceleração da gravidade local ( \boldsymbol{g}_{\mathbf{x}} ). De posse de um kit de queda livre, ele mediu o tempo de queda para diferentes alturas. Os resultados estão registrados na tabela abaixo. A distância percorrida \boldsymbol{h} está relacionada com o tempo de queda \boldsymbol{t} por uma função de potência do tipo h=a t^{n}, onde n=2.
Tempo de queda (s) 0,220 0,293 0,367 0,440 0,513
Distância (cm) 9,00 16,00 25,00 36,00 49,00
a) Qual o método mais indicado para fazer a linearização da equação? Explique.
b) Complete a tabela com os dados necessários para fazer o gráfico.
c) Faça o gráfiço de linearizado e encontre o valor do coeficiente angular (a).
d) Qual a relação do coeficiente angular e da gravidade \left(\boldsymbol{g}_{\boldsymbol{x}}\right), Explique.
e) Qual valor da gravidade \left(\boldsymbol{g}_{x}\right) ?

Passo 1

O enunciado dá uma relação de potência entre a distância de queda h e o tempo de queda t:
h = a\,t^{n},
com n=2. Foram medidas cinco observações (peguei estes números do enunciado):
  • Tempos de queda: t = 0,220,\\\ 0,293,\\\ 0,367,\\\ 0,440,\\\ 0,513 (em segundos).
  • Distâncias: h = 9,00,\\\ 16,00,\\\ 25,00,\\\ 36,00,\\\ 49,00 (em centímetros).
O enunciado pede:
(a) indicar o método de linearização mais indicado e explicar;
(b) completar a tabela com os dados necessários para o gráfico linearizado;
(c) fazer o gráfico linearizado e encontrar o coeficiente angular a;
(d) explicar a relação entre a e a gravidade local g_{x};
(e) calcular o valor de g_{x}.

Passo 2

Explicação didática do método de linearização (resposta da letra (a)).
Quando a lei é do tipo h=a\,t^{n} com n=2, podemos reescrever:
h = a\,t^{2}.
Isto já é uma relação linear entre h e t^{2}: se definirmos x=t^{2} e y=h, temos y=a\,x (reta passando pela origem). Logo o método mais simples e indicado é traçar um gráfico de h versus t^{2} — o coeficiente angular da reta (slope) é exatamente a.
Alternativa (menos direta): fazer transformação logarítmica \log h = \log a + n\log t e usar reta entre \log h e \log t; aqui como n é conhecido e igual a 2, a escolha h vs t^{2} é mais direta e mantém unidades físicas, portanto é preferida.

Passo 3

Preparação dos dados para plotagem (resposta da letra (b)). Para linearizar vou:
  • calcular t^{2} para cada tempo;
  • converter h de centímetros para metros (para ter a em unidades SI \mathrm{m/s^{2}}).
Cálculos de t^{2} (cada cálculo é simplesmente t\cdot t):
\begin{aligned} t_{1}&=0,220\\ \mathrm{s},& t_{1}^{2}&=0,220^{2}=0,0484\\ \mathrm{s^{2}},\\[4pt] t_{2}&=0,293\\ \mathrm{s},& t_{2}^{2}&=0,293^{2}=0,085849\\ \mathrm{s^{2}},\\[4pt] t_{3}&=0,367\\ \mathrm{s},& t_{3}^{2}&=0,367^{2}=0,134689\\ \mathrm{s^{2}},\\[4pt] t_{4}&=0,440\\ \mathrm{s},& t_{4}^{2}&=0,440^{2}=0,193600\\ \mathrm{s^{2}},\\[4pt] t_{5}&=0,513\\ \mathrm{s},& t_{5}^{2}&=0,513^{2}=0,263169\\ \mathrm{s^{2}}. \end{aligned}
Conversão de h para metros ( 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} h_{1}&=9{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}09\\ \mathrm{m},\\\ h_{2}&=16{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}16\\ \mathrm{m},\\\ h_{3}&=25{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}25\\ \mathrm{m},\\\ h_{4}&=36{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}36\\ \mathrm{m},\\\ h_{5}&=49{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}49\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Tabela com colunas necessárias para o gráfico h versus t^{2}:
\begin{array}{c|c|c} \hline \text{Observação} & t\\ (\mathrm{s}) & t^{2}\\ (\mathrm{s^{2}}) & h\\ (\mathrm{m})\\\ \hline 1 & 0{,}220 & 0{,}0484 & 0{,}09\\\\ 2 & 0{,}293 & 0{,}085849 & 0{,}16\\\\ 3 & 0{,}367 & 0{,}134689 & 0{,}25\\\\ 4 & 0{,}440 & 0{,}193600 & 0{,}36\\\\ 5 & 0{,}513 & 0{,}263169 & 0{,}49\\\ \hline \end{array}
(Sugestão prática para a prova: desenhe um eixo horizontal com t^{2} em \mathrm{s^{2}} e eixo vertical com h em \mathrm{m}. Marque os pontos (t^{2},h) da tabela e ajuste uma reta passando pela origem.)]

Passo 4

Como obter o coeficiente angular a a partir do gráfico (resposta da letra (c) — explicação).
  • Na reta h=a\,t^{2} (reta pela origem) o coeficiente angular a é o ganho vertical por unidade de t^{2}: a=\Delta h/\Delta (t^{2}).
  • Na prática, com dados numéricos, pode-se estimar a calculando a média dos quocientes
a_{i}=\frac{h_{i}}{t_{i}^{2}}
ou fazendo um ajuste linear pelo método dos mínimos quadrados forçando a reta passar pela origem (fórmula do ajuste por origem: a=\dfrac{\sum t_{i}^{2}h_{i}}{\sum (t_{i}^{2})^{2}}). Aqui, devido à boa consistência dos dados, usar a média dos quocientes é simples e suficiente para a prova sem calculadora. Vou calcular os quocientes a_{i} primeiro.

Passo 5

Cálculo dos quocientes a_{i} = h_{i}/t_{i}^{2} e média (para obter a numericamente):
\begin{aligned} a_{1}&=\dfrac{0{,}09}{0{,}0484}=1{,}8603306\\ \mathrm{m/s^{2}},\\[4pt] a_{2}&=\dfrac{0{,}16}{0{,}085849}=1{,}8630050\\ \mathrm{m/s^{2}},\\[4pt] a_{3}&=\dfrac{0{,}25}{0{,}134689}=1{,}8561590\\ \mathrm{m/s^{2}},\\[4pt] a_{4}&=\dfrac{0{,}36}{0{,}193600}=1{,}8600823\\ \mathrm{m/s^{2}},\\[4pt] a_{5}&=\dfrac{0{,}49}{0{,}263169}=1{,}8629910\\ \mathrm{m/s^{2}}. \end{aligned}
Média aritmética (estimativa de a):
a=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} a_{i} =\frac{1{,}8603306+1{,}8630050+1{,}8561590+1{,}8600823+1{,}8629910}{5} =1{,}8605146\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando para valores razoáveis em prova: a\approx 1{,}861\\ \mathrm{m/s^{2}} (ou a\approx 1{,}86\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Observação: se preferir, pode traçar a reta no gráfico e medir \Delta h/\Delta(t^{2}) entre dois pontos bem separados; isso dará praticamente o mesmo valor.]

Passo 6

Relação entre o coeficiente angular a e a gravidade g_{x} (resposta da letra (d)) — explicação física.
A física do movimento uniformemente acelerado (queda livre a partir do repouso) diz:
h = \tfrac{1}{2}\,g_{x}\,t^{2}.
Comparando com a forma experimental h = a\,t^{2}, vemos que
a = \tfrac{1}{2}\,g_{x}.
Portanto a relação é
g_{x} = 2\,a.
Interpretação: o coeficiente a mede metade da aceleração da gravidade — porque em um movimento com aceleração constante g a posição cresce como t^{2} com fator \tfrac{1}{2}g.

Passo 7

Cálculo numérico da gravidade local g_{x} (resposta da letra (e)).
Usando g_{x}=2a e a\approx 1{,}8605146\\ \mathrm{m/s^{2}},
g_{x}=2\cdot 1{,}8605146=3{,}7210292\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma adequada: g_{x}\approx 3{,}72\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) Traçar h versus t^{2} (linearizar por t^{2}), porque com n=2 a relação torna-se linear h=a\,t^{2}.
(b) Tabela completada: (t,\\ t^{2},\\ h) = (0{,}220,\\\ 0{,}0484,\\\ 0{,}09), (0{,}293,\\\ 0{,}085849,\\\ 0{,}16), (0{,}367,\\\ 0{,}134689,\\\ 0{,}25), (0{,}440,\\\ 0{,}193600,\\\ 0{,}36), (0{,}513,\\\ 0{,}263169,\\\ 0{,}49).
(c) Coeficiente angular a\approx 1{,}8605\\ \mathrm{m/s^{2}} (aprox. 1{,}86\\ \mathrm{m/s^{2}}).
(d) Relação: a=\tfrac{1}{2}\,g_{x}, logo g_{x}=2a.
(e) Gravidade local g_{x}\approx 3{,}72\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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