Exercício 4. Um viajante espacial pousou num planeta
e resolveu descobrir qual a aceleração da gravidade local (
). De posse de um kit de queda livre, ele mediu o tempo de queda para diferentes alturas. Os resultados estão registrados na tabela abaixo. A distância percorrida
está relacionada com o tempo de queda
por uma função de potência do tipo
, onde
.
Tempo de queda (s)
0,220
0,293
0,367
0,440
0,513
Distância (cm)
9,00
16,00
25,00
36,00
49,00
a) Qual o método mais indicado para fazer a linearização da equação? Explique.
b) Complete a tabela com os dados necessários para fazer o gráfico.
c) Faça o gráfiço de linearizado e encontre o valor do coeficiente angular (a).
d) Qual a relação do coeficiente angular e da gravidade
, Explique.
e) Qual valor da gravidade
?
| Tempo de queda (s) | 0,220 | 0,293 | 0,367 | 0,440 | 0,513 |
| Distância (cm) | 9,00 | 16,00 | 25,00 | 36,00 | 49,00 |
b) Complete a tabela com os dados necessários para fazer o gráfico.
c) Faça o gráfiço de linearizado e encontre o valor do coeficiente angular (a).
d) Qual a relação do coeficiente angular e da gravidade
e) Qual valor da gravidade
Passo 1
O enunciado dá uma relação de potência entre a distância de queda
e o tempo de queda
:
com
. Foram medidas cinco observações (peguei estes números do enunciado):
- Tempos de queda:
(em segundos). - Distâncias:
(em centímetros).
O enunciado pede:
(a) indicar o método de linearização mais indicado e explicar;
(b) completar a tabela com os dados necessários para o gráfico linearizado;
(c) fazer o gráfico linearizado e encontrar o coeficiente angular ;
(d) explicar a relação entre e a gravidade local
;
(e) calcular o valor de .
(a) indicar o método de linearização mais indicado e explicar;
(b) completar a tabela com os dados necessários para o gráfico linearizado;
(c) fazer o gráfico linearizado e encontrar o coeficiente angular
(d) explicar a relação entre
(e) calcular o valor de
Passo 2
Explicação didática do método de linearização (resposta da letra (a)).
Quando a lei é do tipo com
, podemos reescrever:
Quando a lei é do tipo
Isto já é uma relação linear entre
e
: se definirmos
e
, temos
(reta passando pela origem). Logo o método mais simples e indicado é traçar um gráfico de
versus
— o coeficiente angular da reta (slope) é exatamente
.
Alternativa (menos direta): fazer transformação logarítmica e usar reta entre
e
; aqui como
é conhecido e igual a
, a escolha
vs
é mais direta e mantém unidades físicas, portanto é preferida.
Alternativa (menos direta): fazer transformação logarítmica
Passo 3
Preparação dos dados para plotagem (resposta da letra (b)). Para linearizar vou:
- calcular
para cada tempo; - converter
de centímetros para metros (para ter em unidades SI ).
Cálculos de
(cada cálculo é simplesmente
):
Conversão de
para metros (
):
Tabela com colunas necessárias para o gráfico
versus
:
(Sugestão prática para a prova: desenhe um eixo horizontal com
em
e eixo vertical com
em
. Marque os pontos
da tabela e ajuste uma reta passando pela origem.)]
Passo 4
Como obter o coeficiente angular
a partir do gráfico (resposta da letra (c) — explicação).
- Na reta
(reta pela origem) o coeficiente angular é o ganho vertical por unidade de : . - Na prática, com dados numéricos, pode-se estimar
calculando a média dos quocientes
ou fazendo um ajuste linear pelo método dos mínimos quadrados forçando a reta passar pela origem (fórmula do ajuste por origem:
). Aqui, devido à boa consistência dos dados, usar a média dos quocientes é simples e suficiente para a prova sem calculadora. Vou calcular os quocientes
primeiro.
Passo 5
Cálculo dos quocientes
e média (para obter
numericamente):
Média aritmética (estimativa de
):
Arredondando para valores razoáveis em prova:
(ou
).
Observação: se preferir, pode traçar a reta no gráfico e medir
entre dois pontos bem separados; isso dará praticamente o mesmo valor.]
Passo 6
Relação entre o coeficiente angular
e a gravidade
(resposta da letra (d)) — explicação física.
A física do movimento uniformemente acelerado (queda livre a partir do repouso) diz:
A física do movimento uniformemente acelerado (queda livre a partir do repouso) diz:
Comparando com a forma experimental
, vemos que
Portanto a relação é
Interpretação: o coeficiente
mede metade da aceleração da gravidade — porque em um movimento com aceleração constante
a posição cresce como
com fator
.
Passo 7
Cálculo numérico da gravidade local
(resposta da letra (e)).
Usando e
,
Usando
Arredondando de forma adequada:
.
Resposta
(a) Traçar
versus
(linearizar por
), porque com
a relação torna-se linear
.
(b) Tabela completada: =
,
,
,
,
.
(c) Coeficiente angular (aprox.
).
(d) Relação: , logo
.
(e) Gravidade local .
(b) Tabela completada:
(c) Coeficiente angular
(d) Relação:
(e) Gravidade local