[2pt] Encontre o volume do sólido entre as superfícies
,
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- São dadas duas superfícies em função de
e : e - As restrições para
e são retângulo fechado: - O que o enunciado pede: encontrar o volume do sólido situado entre essas duas superfícies, limitado lateralmente pelas retas
.
Passo 2
Entendendo a ideia e a fórmula que vamos usar.
- Quando temos duas superfícies
e e um domínio no plano , o volume do sólido entre elas sobre é dado pela integral dupla onde representa um elemento de área no plano (na prática usaremos ). - Nesta fórmula:
-
é o valor da coordena na superfície superior para cada ponto . -
é o valor da superfície inferior. - A integranda
é a “altura” do sólido sobre o ponto .
-
- Aqui podemos identificar claramente:
e o domínio
Passo 3
Calcular a função altura
e simplificá‑la.
- Subtraindo as superfícies:
- Abrindo parênteses e somando termos semelhantes:
- Agrupando constantes e quadráticos:
Observação rápida (útil para a prova): é bom verificar se
em
para garantir que a “superfície superior” é de fato acima da inferior. Avaliando nos vértices
:
e no centro
. Assim
é não negativa em todo o domínio
.
Passo 4
Montar a integral dupla para o volume e usar separação quando possível.
- Pelo formulação:
- Como
, escrevemos explicitamente em dx dy: - Podemos usar linearidade da integral e a separação de variáveis (os termos em
e podem ser tratados separadamente). Escrevendo como soma:
Passo 5
Calcular cada integral separadamente, mostrando passo a passo as antiderivadas.
-
Primeiro, a área de
é Então -
Agora calcular
. Como depende só de , Calculeusando antiderivada : E. Portanto -
De modo análogo, como
depende só de , (Usou-sepelo mesmo raciocínio que para .)
Passo 6
Juntar tudo e concluir a conta final.
- Substituindo os valores que achamos:
- Calcule os produtos:
- Então
- Escrevendo
como para juntar frações: - Colocando
: