[2pt] Encontre o volume do sólido entre as superfícies z=4-x^{2}-y^{2}, z=x^{2}+2 y^{2}-2, x=1, x=-1, y=-1 e y=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • São dadas duas superfícies em função de x e y: z=4-x^{2}-y^{2}e z=x^{2}+2y^{2}-2.
  • As restrições para x e y são retângulo fechado: x\in[-1,1],\qquad y\in[-1,1].
  • O que o enunciado pede: encontrar o volume do sólido situado entre essas duas superfícies, limitado lateralmente pelas retas x=-1,x=1,y=-1,y=1.

Passo 2

Entendendo a ideia e a fórmula que vamos usar.
  • Quando temos duas superfícies z=z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) e um domínio R no plano xy, o volume do sólido entre elas sobre R é dado pela integral dupla V=\iint_{R}\bigl(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\bigr)\,dA,onde dA representa um elemento de área no plano xy (na prática usaremos dA=dx\,dy).
  • Nesta fórmula:
    • z_{\text{top}}(x,y) é o valor da coordena z na superfície superior para cada ponto (x,y)\in R.
    • z_{\text{bot}}(x,y) é o valor da superfície inferior.
    • A integranda z_{\text{top}}-z_{\text{bot}} é a “altura” do sólido sobre o ponto (x,y).
  • Aqui podemos identificar claramente: z_{\text{top}}(x,y)=4-x^{2}-y^{2}, \qquad z_{\text{bot}}(x,y)=x^{2}+2y^{2}-2,e o domínio R=[-1,1]\times[-1,1].

Passo 3

Calcular a função altura h(x,y)=z_{\text{top}}-z_{\text{bot}} e simplificá‑la.
  • Subtraindo as superfícies: h(x,y)=\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)-\bigl(x^{2}+2y^{2}-2\bigr).
  • Abrindo parênteses e somando termos semelhantes: h(x,y)=4-x^{2}-y^{2}-x^{2}-2y^{2}+2.
  • Agrupando constantes e quadráticos: h(x,y)=6-2x^{2}-3y^{2}.
Observação rápida (útil para a prova): é bom verificar se h(x,y)\ge 0 em R para garantir que a “superfície superior” é de fato acima da inferior. Avaliando nos vértices x=\pm1,y=\pm1:
h(\pm1,\pm1)=6-2\cdot1^{2}-3\cdot1^{2}=6-2-3=1\ge0,
e no centro h(0,0)=6>0. Assim h é não negativa em todo o domínio R.

Passo 4

Montar a integral dupla para o volume e usar separação quando possível.
  • Pelo formulação: V=\iint_{R}\bigl(6-2x^{2}-3y^{2}\bigr)\,dA.
  • Como R=[-1,1]\times[-1,1], escrevemos explicitamente em dx dy: V=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}\bigl(6-2x^{2}-3y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
  • Podemos usar linearidade da integral e a separação de variáveis (os termos em x e y podem ser tratados separadamente). Escrevendo como soma: V=\iint_{R}6\,dA-2\iint_{R}x^{2}\,dA-3\iint_{R}y^{2}\,dA.

Passo 5

Calcular cada integral separadamente, mostrando passo a passo as antiderivadas.
  • Primeiro, a área de R é
    \iint_{R}1\,dA=(\text{comprimento em }x)\cdot(\text{comprimento em }y)=(2)\cdot(2)=4.
    Então
    \iint_{R}6\,dA=6\cdot4=24.
  • Agora calcular \iint_{R}x^{2}\,dA. Como x^{2} depende só de x,
    \iint_{R}x^{2}\,dA=\left(\int_{x=-1}^{1}x^{2}\,dx\right)\left(\int_{y=-1}^{1}1\,dy\right).
    Calcule \int_{x=-1}^{1}x^{2}\,dx usando antiderivada \dfrac{x^{3}}{3}:
    \int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\dfrac{1^{3}}{3}-\dfrac{(-1)^{3}}{3}=\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{2}{3}.
    E \int_{y=-1}^{1}1\,dy=2. Portanto
    \iint_{R}x^{2}\,dA=\dfrac{2}{3}\cdot 2=\dfrac{4}{3}.
  • De modo análogo, como y^{2} depende só de y,
    \iint_{R}y^{2}\,dA=\left(\int_{x=-1}^{1}1\,dx\right)\left(\int_{y=-1}^{1}y^{2}\,dy\right)=2\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}.
    (Usou-se \int_{-1}^{1}y^{2}\,dy=\dfrac{2}{3} pelo mesmo raciocínio que para x.)

Passo 6

Juntar tudo e concluir a conta final.
  • Substituindo os valores que achamos: V=24-2\cdot\frac{4}{3}-3\cdot\frac{4}{3}.
  • Calcule os produtos: 2\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3},\qquad 3\cdot\frac{4}{3}=\frac{12}{3}=4.
  • Então V=24-\frac{8}{3}-4.
  • Escrevendo 4 como \dfrac{12}{3} para juntar frações: V=24-\frac{8}{3}-\frac{12}{3}=24-\frac{20}{3}.
  • Colocando 24=\dfrac{72}{3}: V=\dfrac{72}{3}-\dfrac{20}{3}=\dfrac{52}{3}.

Resposta

\dfrac{52}{3}

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